大基数
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在集合论,大基数性质是超限基数可能具有的若干性质的统称。顾名思义,有某种大基数性质的基数(大基数)一般都很“大”(例如,比满足的最小的更大,其中的意义见阿列夫数)。大基数的存在性不能用最常见的ZFC集合论公理系统证明,所以,若需要大基数才能证明某些结论,则可用所需的大基数来衡量该结论“超出”ZFC的程度。其如达纳·斯科特所言,量化了“欲证更多,必先假设更多”。[1]
常见大基数类别有不可达基数、拉姆齐基数(英语:Ramsey cardinal)、弱紧基数(英语:Weakly compact cardinal)和可测基数等,其中可测基数和拉姆齐基数都比弱紧基数强,而若假定选择公理,弱紧基数是不可达基数。
集合论界中有以下粗略约定:ZFC足以证明的结论叙述时不用列明前提“假设ZFC”,但若证明要求其他假设(例如存在某个大基数),则须列明。视乎哲学派别,或认为该约定仅是语言惯例,或认为其意义更重大(见研究动机和公理认受性一节)。
大基数公理是断言特定大基数存在的公理。例如,“存在3个不可达基数”便属大基数公理。
许多集合论者相信现时考虑的大基数公理皆与ZFC相容[来源请求]。该些公理足以推出ZFC相容,因此ZFC(若相容)无法证明该些公理与ZFC相容,否则ZFC将证明自身的相容性,与哥德尔第二不完备定理矛盾。
并无准确定义何种性质为大基数性质,但大基数性质列表(英语:list of large cardinal properties)列举了若干较普遍接受的大基数性质。