角锥数

角锥数是以多边形为底，侧面为三角形的棱锥所代表的数。角锥数常常是指四角锥数，也就是底部为正方形的角锥数，不过也可以指其底边为其他多边形的角锥数^[1]。以四角锥数为例，四角锥ａ是数个正方形数的和。可以将角锥数延伸到更大的维度。

四角锥数1 + 4 + 9 + 16 = 30.的图示

公式

第n个r角锥数的公式为

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

其中r ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$，r ≥ 3^[2]。

可以将上述公式分解为下式：

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

其中T_n是第n个三角形数。

举例

头几个三角锥数（也就是四面体数）是：

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... （OEIS数列A000292）

头几个四角锥数是：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ... （OEIS数列A000330）.

头几个五角锥数是：

1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126 （OEIS数列A002411）.

头几个六角锥数是：

1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925 （OEIS数列A002412）.

头几个七角锥数是^[3]

1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, ... （OEIS数列A002413）.