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上极限和下极限

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上极限和下极限
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微积分学中,上极限和下极限(英语:Limit superior and limit inferior)是指数列极限的上极限和下极限,可以大致想像为数列极限的上下界。举例来说,数列 的上极限为 1,下极限为 -1。 函数的上极限和下极限可以用类似方式考虑。[注 1]。集合的上极限和下极限分别是这个集合的极限点上确界下确界

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上极限和下极限的示意图。数列 xn 为蓝色。两个红色虚线曲线逼近数列 xn 的上极限和下极限。数列的上下极限相等当且仅当此数列收敛
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定义

序列的上极限定义是

或者

同样的,序列的下极限定义是

或者

这些定义在任意的偏序集都适用,只需要上确界下确界存在。 在完全格里,上确界和下确界总是存在,所以其中的序列一定有上极限和下极限。

每当都存在,那么

上极限和下极限也记为

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实数数列

实数集 R数列微积分很重要。R 不是完备格,但可以加入正负无穷以得到完备全序集 ,形成完备格。那么在 中数列 收敛当且仅当 ,而这时 等于上面的共同值。[注 2]

若实数数列 的上极限为实数[注 3],那么上极限是最小的实数 a,使得对任意小的正实数 ,都存在足够大的正整数 N,使得对所有 ,都有 。换言之,对任何大于上极限的实数,都存在 N 使得这实数是数列 上界

若实数数列 的下极限为实数,那么下极限是最大的实数 b,使得对任意小的正实数 ,都存在足够大的正整数 N,使得对所有 ,都有 。换言之,对任何小于下极限的实数,都存在 N 使得这实数是数列 下界

是整数数列。若其上极限为实数 a,由于 也符合上述条件,故此 a 必是整数。[注 4]在条件中取 ,得出 a 是最小的实数,使得存在正整数 N,对所有 ,都有 。因此 a 是最大的整数,使得有无限个 。同样地,若其下极限为实数 b,则 b 是最小的整数,使得有无限个

,那么区间 不一定包含任何的 ,但是轻微扩大了的 [I-ε,S+ε] 对任意小的ε > 0都会包含除了有限项外所有的 xn。区间 [I, S] 是适合这个性质的最小闭区间。

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例子

  • ,则。闭区间[-1, 1]中不包含任何
  • 考虑数列。应用π无理数性质,可以证明[注 5]
其中是第素数[注 6]
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集的序列

集合X幂集P(X)是完备格。对于P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下极限也有用处。

是这样的序列,那么X的元素a属于,当且仅当存在自然数使得对于所有a里。元素a属于,当且仅当对所有自然数,都存在一个指数使得a里。换句话说,包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有无限多个n,使得它在集合里;而包含了所有这样的元素,其中的每一个,都有除了有限多个外的所有n,使得它在里。

以集合论的标准语言来说,一个集合序列的下确界是这些集合的可数交,也就是包含在所有集合里的最大集合:

为自起的集合的下确界。那么序列非递减,因为。所以,第1至n个下确界的并集就是第n个下确界。下极限就是这序列的极限:

上极限可以相反方式定义。一个集合序列的上确界是包含这些集合的最小集合,也就是它们的可数并:

上极限是这个非递增的上确界序列的可数交(其中每个上确界都包含在前一个里面)。

例子或应用可见波莱尔-坎泰利引理柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)。

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注释

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引用

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