初一新生之梦

Freshman's dream（中文可译“新手之梦”）指的是错误方程式“${\displaystyle (x+y)^{n}}$ = ${\displaystyle x^{n}+y^{n}}$”，当中 ${\displaystyle n}$ 是一个实数（通常是大于1的正整数）。初阶学生经常误以为括号外的次方可以直接分配给括号内的项^[1][2]。其实只要假设 ${\displaystyle n=2}$ 就可以简单发现方程式并不成立：透过乘法分配律，${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$。至于 ${\displaystyle n}$ 值更大的方程式，则可以使用二项式定理计算正确答案。

形象化表达“Freshman's dream”的错误之处：上图的正方形边长为X+Y，正方形总面积为黄色正方形（=X²）、绿色正方形（=Y²)，以及两个常被忽略的白色长方形（=2×X×Y）。

在热带几何的世界，加法取代了乘法，而极值取代了加法。在此情况下，“Freshman's dream”便是正确^[3]。

“Freshman's dream”也可代指另一项定理，${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$，当中 ${\displaystyle p}$ 是质数，而 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是在具有 ${\displaystyle p}$ 特征的交换环上的代数。由于 ${\displaystyle p}$ 能够整除首项和末项以外的二项式系数，使中间的所有项都等于零，所以这个“错误”实际上可以做到正确答案^[4]。

历史与别名

1940年一篇有关模曲线的文章中，桑德斯·麦克兰恩引用斯蒂芬·科尔·克莱尼指出，特征为2的体中的公式“${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}}$”，有可能破坏初一新生的代数观念。此为可追溯的最早将“初一新生之梦”与正特征体的二项式展开公式连系起来的言论^[5]，自此大部分代数课本都提及这个惯常误解，其中1974年汤马士·亨嘉福（英语：Thomas W. Hungerford）的代数课本似乎是首次使用“Freshman's dream”一词^[6]。别名包括1998年庄·法黎课本中的“Freshman exponentiation”（中文可译“初一新生之幂”）^[7]；又鉴于${\displaystyle (x+y)^{n}}$可透过二项式定理计算，因而又被称为“小孩的二项式定理”（Child's binomial theorem）^[8]或“中学生的二项式定理”（Schoolboy binomial theorem）^[9]。

至于“Freshman's dream”一词则自19世纪起已在非数学范畴使用^[10][11]。

例子

• ${\displaystyle (1+4)^{2}=5^{2}=25}$，但${\displaystyle 1^{2}+4^{2}=17}$.
• ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}}$（即 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ）在大多数情况下都不等于${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}=|x|+|y|}$。例如：${\displaystyle {\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}$，而${\displaystyle 3+4=7}$。

质数定理

当 ${\displaystyle p}$ 是质数，而 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 是在具有 ${\displaystyle p}$ 特征的交换环上的代数，那么 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$。此理论可透过研究二项式系数的质数因数而论证：

第 n 个二项式系数为 ${\displaystyle {\binom {p}{n}}={\frac {p!}{n!(p-n)!}}}$。

由于分子是 ${\displaystyle p}$ 的阶乘，所以可以被 ${\displaystyle p}$ 整除。不过当 ${\displaystyle 0<n<p}$ 之时，${\displaystyle n!}$ 和 ${\displaystyle (p-n)!}$ 都少于 ${\displaystyle p}$，因而两者都不能被整除。但二项式系数必然是整数，因此第 n 个二项式系数可被 ${\displaystyle p}$ 整除，交换环继而等于零。自此整条方程式只剩下第0个和第 p 个二项式系数，因此可证 ${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$。结果也证明 p 次方制造了自同态，又称交换环的弗罗贝尼乌斯自同态^[8]。

在此方程中，${\displaystyle p}$ 必须是质数才可成立。有一相类近的定理指出，当 ${\displaystyle p}$ 是质数的话，在${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[x]}$多项式环中，${\displaystyle (x+1)^{p}\equiv x^{p}+1}$。此定理成为现代质数测试中的关键^[8]。

参见

• 一年级生
• 素性测试
• 弗罗贝尼乌斯自同态
• 二年级之梦