二年级之梦

二年级之梦(sophomore's dream)是约翰·白努利于1697年发现的两条有趣的数学恒等式。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&\scriptstyle {(=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&\scriptstyle {(=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}}$$

名称来自于与之相对的一年级之梦，也就是“ (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ ”。两个梦都带有数学吓人的简单表达方式，然而一年级之梦为错误的方程式，因为只要将 ${\displaystyle n=2}$ 带入就会发现无法形成等式；但是二年级之梦却是正确的式子。

证明

在座标上，两公式的关系。

第一条公式，首先利用对数转换和积分与级数顺序变化^[1]：

• 对数转换 ${\displaystyle x^{-x}=e^{-x(\ln x)}}$
• 指数函数的泰勒展开式 ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

得到 ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\ln x)^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx.}$

在上式中我们利用了幂级数的均匀收敛性，以交换求和运算及积分运算

设 ${\displaystyle u=-(n+1)\ln x}$

则 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}x^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\infty }^{0}{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(-e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du}$

再设 ${\displaystyle v=(n+1)u}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv}$

根据Γ函数， ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\Gamma (n+1)=n!}$

最终推得 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}}$ 若则积函数为${\displaystyle x^{x}}$，则可用同法推得${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)^{n+1}}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}}$

关联条目

• 菲涅耳积分