中心 (群论)

在抽象代数中，群${\displaystyle G}$的中心${\displaystyle Z\left(G\right)}$是所有在${\displaystyle G}$中和${\displaystyle G}$的所有元素可交换的元素的集合，也就是：

${\displaystyle Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}}$

注意${\displaystyle Z\left(G\right)}$是一个${\displaystyle G}$的子群：若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$在${\displaystyle Z\left(G\right)}$中，则${\displaystyle \left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G}$，故${\displaystyle xy}$也在${\displaystyle Z\left(G\right)}$中。同样的论证对于逆操作也成立。

而且，${\displaystyle Z\left(G\right)}$是一个${\displaystyle G}$的可交换子群，也是${\displaystyle G}$的正规子群，甚至是${\displaystyle G}$的严格特征子群，但不总是完全特征的。

${\displaystyle G}$的中心是整个${\displaystyle G}$当且仅当${\displaystyle G}$是可交换群。另一个极端是，若${\displaystyle Z\left(G\right)}$是平凡群，群可以是无中心的。

考虑映射${\displaystyle \Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)}$，这是到${\displaystyle G}$的自同构群的映射，定义为：

${\displaystyle G}$中每个元素${\displaystyle G}$在${\displaystyle \Phi }$下的像是自同构${\displaystyle h\longmapsto ghg^{-1}}$。${\displaystyle \Phi }$的核是${\displaystyle G}$的中心，而${\displaystyle \Phi }$的像称为${\displaystyle G}$的内自同构群，记为${\displaystyle \operatorname {Inn} \left(G\right)}$，按照第一同构定理：${\displaystyle G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)}$。

例子

阿贝尔群G的中心即为其自身G。

正交群${\displaystyle O\left(n\right)}$的中心是${\displaystyle \left\{I,-I\right\}}$。

参见

• 中心 (代数)
• 中心化子和正规化子
• 共轭类