子群

假设 ${\displaystyle (G,*)}$ 是一个 群（group），若 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的一个非空子集（subset）且同时 ${\displaystyle H}$ 与相同的二元运算 ${\displaystyle *}$ 亦构成一个群，则 ${\displaystyle (H,*)}$ 称为 ${\displaystyle (G,*)}$ 的一个 子群（subgroup）。参阅群论。

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同态 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循环群 · 幂零群 · 可解群 · 圈积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 劳仑兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
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更精确地来说，若运算 ${\displaystyle *}$ 在 ${\displaystyle H}$ 的限制也是个在 ${\displaystyle H}$ 上的群运算，则称 ${\displaystyle H}$ 为 ${\displaystyle G}$的子群。

一个群 ${\displaystyle G}$ 的 纯子群 是指一个子群 ${\displaystyle H}$，其为 ${\displaystyle G}$的纯子集（即 ${\displaystyle H}$ ≠ ${\displaystyle G}$）。任一个群总会有两个子群 当然群（为只包含单位元的子群，{e}）以及 群本身。若 ${\displaystyle H}$ 为 ${\displaystyle G}$的子群，则 ${\displaystyle G}$ 有时会被称为 ${\displaystyle H}$ 的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内，当 G 为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群G 有时会被标记成有序对(G,*)，通常用以强调其运算 ${\displaystyle *}$ 当 G 带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中，会使用省略掉 ${\displaystyle *}$ 的约定，并将乘积a*b写成 ab。

子群的检验

给定一个群${\displaystyle (G,*)}$，${\displaystyle H}$为${\displaystyle G}$的子集，则有${\displaystyle H}$为${\displaystyle G}$的子群当且仅当${\displaystyle \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$。

若${\displaystyle H}$为${\displaystyle G}$的子群可表示为${\displaystyle H\leq G}$，则以上表述可表示为:

${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$

证明：

${\displaystyle (\Longrightarrow )}$：

因为${\displaystyle H\leq G}$，对于任意${\displaystyle h'\in H}$，${\displaystyle \exists h'^{-1}\in H}$，另有${\displaystyle h\in H}$，由于${\displaystyle H}$为一个群，所以${\displaystyle h*h'^{-1}\in H}$。

${\displaystyle (\Longleftarrow )}$：

假设${\displaystyle \exists x\in H}$，令${\displaystyle h=h'=x}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H}$，即${\displaystyle H}$存在单位元。

对于${\displaystyle x\in H}$，令${\displaystyle h=e_{G}}$，${\displaystyle h'=x}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H}$，即对于任意${\displaystyle x\in H}$，存在${\displaystyle x^{-1}\in H}$。

对于${\displaystyle x,y\in H}$，令${\displaystyle h=x}$，${\displaystyle h'=y^{-1}}$，可得${\displaystyle h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H}$，即对于任意${\displaystyle x,y\in H}$，${\displaystyle x*y\in H}$。

因此${\displaystyle H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H}$成立。

子群的基本性质

• ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$${\displaystyle H\subseteq G}$且存在一个映射${\displaystyle \phi :H\to G}$,且对每个 ${\displaystyle a\in H}$ 有${\displaystyle \phi (a)=a}$。
• ${\displaystyle H\leq G}$ ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$${\displaystyle e_{H}=e_{G}}$,其中${\displaystyle e_{H},e_{G}}$为${\displaystyle H,G}$ 的单位元。
• 若${\displaystyle H\leq G}$，则${\displaystyle a,b}$为会使得${\displaystyle ab=ba=e_{H}}$ 之 ${\displaystyle H}$ 中的元素，有${\displaystyle ab=ba=e_{G}}$。
• 若${\displaystyle H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G}$ .但${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$则不一定，例如2和3是在${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$与${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$的并集中，但其总和5则不是。
• 若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
• 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得aⁿ = e的正整数，且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z，则a会被称有“无限阶”。
• 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论并集“所产生”的子群。)若e为G的单位元，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

例子

1. 有限群

${\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}}$ 和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表为

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有着一对非当然子群：${\displaystyle J=\{0,4\}}$ 和 ${\displaystyle H=\{0,2,4,6\}}$，其中 ${\displaystyle J}$ 亦是 ${\displaystyle H}$ 的子群。${\displaystyle H}$ 的凯莱表是 ${\displaystyle G}$ 的凯莱表之左上半部。 ${\displaystyle G}$ 群是循环的，而其子群亦为。一般而言，循环群的子群亦为循环的。

2. 二面体群

如果${\displaystyle G=D_{n}}$，则 ${\displaystyle R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}}$是一个子群

3.群的中心，中心化子，正规化子

我们设${\displaystyle Z(G)}$一个群G的子集，包含了所有与群G中其他元素可交换的元素，也就是说

${\displaystyle Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}}$，此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心，记作${\displaystyle Z(G)}$。

设A为G的任意子集，则A在G中的中心化子为集合${\displaystyle C_{G}(A)}$，此集合的定义为:

${\displaystyle C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}}$，此集合也是群G的子群。

至于A在G中的正规化子则为集合${\displaystyle N_{G}(A)}$，此集合定义为:

${\displaystyle N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}}$，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a₁ ~ a₂当且仅当a₁⁻¹a₂会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，

${\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}$

其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是，每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的约数。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见

• 嘉当子群
• 费汀子群
• 稳定子群