二十面截角十二面十二面体

在几何学中，二十面截角十二面十二面体是一种星形均匀多面体，由20个正六边形、12个正十边形和12个十角星组成^[5][6]，其索引为U₄₅，对偶多面体为三重二方二十面体（英语：Tridyakis icosahedron）^[1]，具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[7][5][8]

二十面截角十二面十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	三重二方二十面体（英语：Tridyakis icosahedron）
识别
名称	二十面截角十二面十二面体 Icositruncated dodecadodecahedron icosidodecatruncated icosidodecahedron
参考索引	U45, C57, W84
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	idtid
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 5 5/3 | 3 5/3 5 |[1][2]:130 5/3 3 5 |[3][4]
性质
面	44
边	180
顶点	120
欧拉特征数	F=44, E=180, V=120 （χ=-16）
组成与布局
面的种类	20个正六边形 12个正十边形 12个十角星
顶点图	6.10.10/3
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
6.10.10/3 （顶点图） 三重二方二十面体（英语：Tridyakis icosahedron） （对偶多面体）

性质

二十面截角十二面十二面体共由44个面、180条边和120个顶点组成^[7][9]。在其44个面中，有20个正六边形、12个十边形和12个十角星^[5][6]。在其120个顶点中，每个顶点都是六边形、十边形和十角星的公共顶点，并且这些面在顶点周围依照六边形、十边形和十角星的顺序排列，在顶点图中可以用[6,10,10/3]^[10]或(10/3.6.10)^{[11][8][7][4]}来表示。

表示法

二十面截角十二面十二面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[4]（x5/3x3x5*a）^[12]，在威佐夫记号中可以表示为3 5/3 5 |^[1][2]:130或5/3 3 5 |^[3][4]。

分类

由于二十面截角十二面十二面体的顶点图为不等边三角形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，并可以透过星形正多面体进行广义截角来构造，因此二十面截角十二面十二面体是一种自相交截角拟正多面体（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角拟正多面体一共有五种，分别为立方截角立方八面体、星形截角截半立方体、二十面截角十二面十二面体、截角截半大十二面体和大截角截半二十面体。^[13]这些立体由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）和约翰·皮奇（Johann Pitsch）于1881年发现并描述。^[14][15]

尺寸

若二十面截角十二面十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为2单位。^[16]

边长为单位长的二十面截角十二面十二面体，中分球半径为二分之根号十五：^[5][6]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {15}}{2}}\approx 1.9364916731037}$

二面角

二十面截角十二面十二面体有三种二面角，分别为十边形面和六边形面的二面角、十边形面和十角星面的二面角以及十角星面和六边形面的二面角。^[10][5]

其中十边形面和六边形面的二面角约为100.812度^[10][5]：

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.759506857578\approx 100.812316964^{\circ }}$

十边形面和十角星面的二面角为负根号五倒数的反余弦值^[10]，约为116.565度^[10][5]：

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 2.0344439357957\approx 116.565051177^{\circ }}$

十角星面和六边形面的二面角约为142.6226度^[10][5]：

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 2.4892345138\approx 142.622631859^{\circ }}$

顶点坐标

二十面截角十二面十二面体的顶点坐标为下列坐标的偶置换：^[5]

${\displaystyle \left(\pm \left(2-{\frac {1}{\tau }}\right),\pm 1,\pm \left(2+\tau \right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm {\frac {1}{\tau ^{2}}},\pm \left(3\tau -1\right)\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 2,\pm {\frac {2}{\tau }},\pm 2\tau \right)}$

${\displaystyle \left(\pm 3,\pm {\frac {1}{\tau ^{2}}},\pm \tau ^{2}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm \tau ^{2},\pm 1,\pm \left(3\tau -2\right)\right)}$

其中，${\displaystyle \tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例。

参见

• 均匀多面体