立方截角立方八面体

在几何学中，立方截角立方八面体是一种星形均匀多面体，由8个正六边形、6个正八边形和6个正八角星所组成^[6][7][8]，其索引为U₁₆，对偶多面体为四重二方六面体（维基数据：Q18048480）^[1]，具有八面体群对称性（英语：Octahedral symmetry）。^[9]

立方截角立方八面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	四重二方六面体（维基数据：Q18048480）
识别
名称	立方截角立方八面体 cubitruncated cuboctahedron cuboctatruncated cuboctahedron
参考索引	U16, C52, W79
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	cotco
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 4 4/3 | 3 4/3 4 |[1][2]:121 4/3 3 4 |[3][4][5]
性质
面	20
边	72
顶点	48
欧拉特征数	F=20, E=72, V=48 （χ=-4）
组成与布局
面的种类	8个正六边形 6个正八边形 6个正八角星
顶点图	6.8.8/3
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
图像
6.8.8/3 （顶点图） 四重二方六面体（维基数据：Q18048480） （对偶多面体）

性质

立方截角立方八面体共由20个面、72条边和48个顶点组成^{[9][10][4][5]}。在其20个面中，有8个正六边形、6个正八边形和6个正八角星^[6][7][8]。在其48个顶点中，每个顶点都是1个正六边形、1个正八边形和1个正八角星的公共顶点，且这些面依照正六边形、正八边形和正八角星的顺序排列，在顶点图中可以用[6,8,8/3]^[11]或(8/3.6.8)^[12][13][4]来表示。若将立方截角立方八面体作为一个简单多面体，也就是将自相交的部分分离开来，则这个立体会有62个外部面^[6]。

表示法

立方截角立方八面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[3]（x4/3x3x4*a）^[14]，在威佐夫记号中可以表示为3 4/3 4 |^[1][2]:121或4/3 3 4 |^[3][4][5]。

分类

由于立方截角立方八面体的顶点图为不等边三角形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，并可以透过星形正多面体进行广义截角来构造，因此立方截角立方八面体是一种自相交截角拟正多面体（Self-Intersecting Truncated Quasi-Regular Polyhedra）。自相交截角拟正多面体一共有五种，分别为立方截角立方八面体、星形截角截半立方体、二十面截角十二面十二面体、截角截半大十二面体和大截角截半二十面体。^[15]这些立体由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）和约翰·皮奇（Johann Pitsch）于1881年发现并描述。^[16][17]

尺寸

若立方截角立方八面体的边长为单位长，则其外接球半径为七的平方根的一半：^[18]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {7}}{2}}\approx 1.3228756555}$

边长为单位长的立方截角立方八面体，中分球半径为六的平方根的一半：^[8][7]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {6}}{2}}\approx 1.22474487139}$

二面角

立方截角立方八面体有三种二面角，分别为八边形和六边形的二面角、八边形和八角星的二面角以及八角星和六边形的二面角。^[11][8]

其中，八边形和八角星的二面角为直角，即90度角^[11][8]；而八边形和六边形的二面角为3的平方根之倒数的反余弦值，约为54.735610度：^[11][8]

${\displaystyle \angle }$八边形${\displaystyle ,}$六边形${\displaystyle \,=\arccos \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}$^[11]${\displaystyle =\arccos \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}$^[8]${\displaystyle \approx \,}$0.9553166181245${\displaystyle \,\approx \,}$54.735610317°^[8]

八角星和六边形的二面角为负3的平方根之倒数的反余弦值，约为125.264390度：^[11][8]

${\displaystyle \angle }$八角星${\displaystyle ,}$六边形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)}$^[11]${\displaystyle =\arccos \left(-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)}$^[8]${\displaystyle \approx \,}$2.186276035${\displaystyle \,\approx \,}$125.264389683°^[8]

凸包

立方截角立方八面体的凸包是一个非均匀的大斜方截半立方体，其六边形面由等角但不等边的六边形组成。^[7][19]

凸包 （等角六边形面）

立方截角立方八面体

正交投影

顶点坐标

立方截角立方八面体的顶点坐标为下列坐标的全排列：^[8]

(±(√2−1), ±1, ±(√2+1))

参见

• 均匀多面体