互质因子算法

互质因子算法（Prime-factor FFT algorithm, PFA），又称为Good-Thomas算法^{[1] [2]}，是一种快速傅立叶变换（FFT），把N = N₁N₂大小的离散傅立叶变换重新表示为N₁ * N₂大小的二维离散傅立叶变换，其中N₁与N₂需互质。变成N₁和N₂大小的傅立叶变换后，可以继续递回使用PFA，或用其他快速傅立叶变换算法来计算。

较流行的Cooley-Tukey算法经由mixed-radix一般化后，也是把N = N₁N₂大小的离散傅立叶变换分割为N₁和N₂大小的转换，但和互质因子算法 (PFA)作法并不相同，不应混淆。Cooley-Tukey算法的N₁与N₂不需互质，可以是任何整数。然而有个缺点是比PFA多出一些乘法，和单位根twiddle factors相乘。相对的，PFA的缺点则是N₁与N₂需互质 (例如N 是2次方就不适用)，而且要借由中国剩余定理来进行较复杂的re-indexing。互质因子算法 (PFA)可以和mixed-radix Cooley-Tukey算法相结合，前者将N 分解为互质的因数，后者则用在重复质因数上。

PFA也与nested Winograd FFT算法密切相关，后者使用更为精巧的二维折积技巧分解成N₁ * N₂的转换。因而一些较古老的论文把Winograd算法称为PFA FFT。

尽管PFA和Cooley-Tukey算法并不相同，但有趣的是Cooley和Tukey在他们1965年发表的有名的论文中，没有发觉到高斯和其他人更早的研究，只引用Good在1958年发表的PFA作为前人的FFT结果。刚开始的时候人们对这两种作法是否不同有点困惑。

算法

离散傅立叶变换（DFT）的定义如下:

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}nk}\qquad k=0,\dots ,N-1}$

PFA将输入和输出re-indexing，代入DFT公式后转换成二维DFT。

Re-indexing

设N = N₁N₂，N₁与N₂两者互质，然后把输入n 和输出k 一一对应到

${\displaystyle n=n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}\mod N}$

因N₁与N₂ 互质，故根据最大公因数表现定理，对每个n 都存在满足上式的整数n₁与n₂，且在同余N 之下n₁可以调整至0～N₁ –1之间，n₂可以调整至0～N₂ –1之间。并根据同余理论易知满足上式且在以上范围内的整数n₁与n₂是唯一的。这称为Ruritanian 映射 (或Good's 映射)，

${\displaystyle k=k_{1}\mod N_{1}}$

${\displaystyle k=k_{2}\mod N_{2}}$

举例来说:

如果${\displaystyle N=15,N_{1}=5,N_{2}=3,n=0,1,2,...,12,13,14,}$对于任一 ${\displaystyle n}$ 都可以对应到

${\displaystyle n=n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}\mod N,n_{1}=0,1,...,N_{1}-1,n_{2}=0,1,...,N_{2}-1}$

${\displaystyle 0=0\centerdot N_{2}+0\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 1=2\centerdot N_{2}+2\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 2=4\centerdot N_{2}+1\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 3=1\centerdot N_{2}+0\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 4=3\centerdot N_{2}+2\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 5=0\centerdot N_{2}+1\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 6=2\centerdot N_{2}+0\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 7=4\centerdot N_{2}+2\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 8=1\centerdot N_{2}+1\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 9=3\centerdot N_{2}+0\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 10=0\centerdot N_{2}+2\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 11=2\centerdot N_{2}+1\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 12=4\centerdot N_{2}+0\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 13=1\centerdot N_{2}+2\centerdot N_{1}\mod 15}$

${\displaystyle 14=3\centerdot N_{2}+1\centerdot N_{1}\mod 15}$

因N₁与N₂ 互质，故根据中国剩余定理，对于每组 ( k₁ , k₂ ) (其中k₁在0～N₁ – 1之间, k₂在0～N₂ – 1之间)，都有存在且唯一的k 在0～N - 1之间且满足上两式。这称为 CRT 映射。 CRT 映射的另一种表示法如下

${\displaystyle k=k_{1}N_{2}^{-1}N_{2}+k_{2}N_{1}^{-1}N_{1}\mod N}$

其中N₁^-1表示N₁在模N₂之下的反元素，N₂^-1反之。

( 也可以改成对输入n 用 CRT 映射以及对输出k 用Ruritanian 映射)

对于有效re-indexing (理想上是达到原地)的方法有许多研究^[3]，以减少耗费时间的模运算。

DFT re-expression

表示方法一:

将以上的re-indexing代入DFT公式里指数部分的nk 之中，

${\displaystyle e^{-{\frac {2\pi i}{N}}nk}=e^{-{\frac {2\pi i}{N}}(n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1})k}=e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}kn_{1}}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}kn_{2}}=e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}k_{1}n_{1}}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}k_{2}n_{2}}}$

( 因为e^2πi = 1，所以两个指数的k 部分可以分别模N₁与N₂ )。剩下的部分变成

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}n_{2}k_{2}}\right)e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}n_{1}k_{1}}.}$

则内部和外部的总和分别转换成大小为N₂与N₁的DFT。

表示方法二:

如果令 ${\displaystyle k=k_{1}N_{2}+k_{2}N_{1}\quad for\quad k=0,1,...,N-1,}$

令 ${\displaystyle n=((n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}))_{N}}$，${\displaystyle (\cdot )_{N}}$相当于取 ${\displaystyle N}$的余数，${\displaystyle n_{1}=0,\dots ,N_{1}-1}$, ${\displaystyle n_{2}=0,\dots ,N_{2}-1}$

${\displaystyle X[((k_{1}N_{2}+k_{2}N_{1}))_{N}]=\sum _{n=0}^{N-1}x[((n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}))_{N}]e^{-j{\frac {2\pi }{N_{2}N_{1}}}(k_{1}N_{2}+k_{2}N_{1})(n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1})}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{N-1}x[((n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}))_{N}]e^{-j{\frac {2\pi }{N_{2}N_{1}}}(k_{1}n_{1}N_{2}N_{2}+k_{2}n_{2}N_{1}N_{1}+k_{1}n_{2}N_{2}N_{1}+k_{2}n_{1}N_{1}N_{2})}}$

${\displaystyle =\sum _{n=0}^{N-1}x[((n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}))_{N}]e^{-j{\frac {2\pi }{N_{1}}}(k_{1}n_{1}N_{2})}e^{-j{\frac {2\pi }{N_{2}}}(k_{2}n_{2}N_{1})}}$

${\displaystyle =\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\{\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}x[((n_{1}N_{2}+n_{2}N_{1}))_{N}]e^{-j{\frac {2\pi }{N_{1}}}(k_{1}n_{1}N_{2})}\}e^{-j{\frac {2\pi }{N_{2}}}(k_{2}n_{2}N_{1})}.}$

对于每一个 ${\displaystyle n_{2}}$ 都要做一个 ${\displaystyle N_{1}}$ 点的 ${\displaystyle DFT}$，而因为 ${\displaystyle n_{2}=0,\dots ,N_{2}-1}$有 ${\displaystyle N_{2}}$个，所以需要 ${\displaystyle N_{2}}$ 个 ${\displaystyle N_{1}}$ 点 ${\displaystyle DFT}$,

对于每一组${\displaystyle ((k_{1}N_{2}))_{N_{1}}}$都要做一个 ${\displaystyle N_{2}}$ 点的 ${\displaystyle DFT}$，而因为 ${\displaystyle N_{2}}$为常数，${\displaystyle k_{1}=0,\dots ,N_{1}-1}$有 ${\displaystyle N_{1}}$ 个，所以需要 ${\displaystyle N_{1}}$ 个 ${\displaystyle N_{2}}$ 点 ${\displaystyle DFT}$，

因此如果要计算复杂度，可以乘法器的数量当作考量,

假设${\displaystyle N_{1}}$ 点的 ${\displaystyle DFT}$ 需要 ${\displaystyle M_{1}}$个乘法器,

假设${\displaystyle N_{2}}$ 点的 ${\displaystyle DFT}$ 需要 ${\displaystyle M_{2}}$个乘法器,

则总共需要 ${\displaystyle N_{2}M_{1}+N_{1}M_{2}}$个乘法器。

范例

以N = 6为例，有两种可能，N₁ = 2, N₂ = 3或N₁ = 3, N₂ = 2。

N₁ = 2, N₂ = 3

N₁ = 3, N₂ = 2

第一种情形所产生的流程图如左图所示。先做2次3点DFT后再做3次2点DFT。

第二种情形所产生的流程图如右图所示。先做3次2点DFT后再做2次3点DFT。

其中2点DFT的部分因构造单纯，皆以交错的蝴蝶图来显示。

可以看出即使在这个简单的例子中，输入和输出的index也都经过有点复杂的重新排列。

与Cooley-Tukey算法的比较

如首段所述，Cooley-Tukey算法和互质因子算法 (PFA)曾被误认为很类似。两者皆有各自优点可适用于不同状况，因此分辨它们的不同是很重要的。在1965年著名的论文中发表的Cooley-Tukey算法，是在DFT的定义

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}nk}\qquad k=0,\dots ,N-1}$

中代入n = n₁ + n₂N₁ , k = k₁N₂ + k₂，则

${\displaystyle e^{-{\frac {2\pi i}{N}}nk}=e^{-{\frac {2\pi i}{N}}(n_{1}+n_{2}N_{1})(k_{1}N_{2}+k_{2})}=e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}n_{1}k_{1}}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}n_{1}k_{2}}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}n_{2}k_{2}}}$

${\displaystyle X_{k_{1}N_{2}+k_{2}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1}+n_{2}N_{1}}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}n_{2}k_{2}}\right)e^{-{\frac {2\pi i}{N}}n_{1}k_{2}}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}n_{1}k_{1}}}$

比PFA多了一些要乘的因子${\displaystyle e^{-{\frac {2\pi i}{N}}n_{1}k_{2}}}$ (称为twiddle factors )，但index较为简单，且适用于任何N₁、N₂。在J. Cooley稍后发表的关于FFT历史探讨的论文^[4]中使用N = 24点FFT为例，显示两种作法在index结构上的不同。

N1 与 N2 不互质情况

${\displaystyle N=N_{1}*N_{2}}$，若${\displaystyle N_{1}}$ 与 ${\displaystyle N_{2}}$ 并不互质，仍可透过拆解得到运算所需的乘法数量。 离散傅立叶变换（DFT）的定义如下: ${\displaystyle F[m]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n]e^{-{\frac {2\pi i}{N}}mn}\qquad m,n=0,\dots ,N-1}$ 可以拆解成${\displaystyle N_{2}}$ 个 ${\displaystyle N_{1}-point}$ DFTs 和 ${\displaystyle N_{1}}$ 个 ${\displaystyle N_{2}-point}$ ${\displaystyle DFT_{s}}$，以及twiddle factor。

算法

令 ${\displaystyle n=n_{1}N_{1}+n_{2}}$，${\displaystyle m=m_{1}+m_{2}N_{2}}$。 ${\displaystyle n_{1},m_{1}=0,1,2,....,N_{2}-1}$, ${\displaystyle n_{2},m_{2}=0,1,2,....,N_{1}-1}$

可得出下列式子

${\displaystyle F[m_{1}+m_{2}N_{2}]=\sum _{n=0}^{N-1}f[n_{1}N_{1}+n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N}}(m_{1}+m_{2}N_{2})(n_{1}N_{1}+n_{2})}\qquad }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \ \ =\sum _{n=0}^{N-1}f[n_{1}N_{1}+n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}N_{2}}}(m_{1}n_{1}N_{1}+m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}N_{1}N_{2}+m_{2}n_{2}N_{2})}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \ \ =\sum _{n=0}^{N-1}f[n_{1}N_{1}+n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}(m_{1}n_{1})}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}(m_{2}n_{2})}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}N_{2}}}(m_{1}n_{2})}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \ \ =\sum _{n_{2}=0}^{P_{1}-1}{\Bigl (}\sum _{n_{1}=0}^{N_{2}-1}f[n_{1}N_{1}+n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}(m_{1}n_{1})}{\Bigr )}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}(m_{2}n_{2})}e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}N_{2}}}(m_{1}n_{2})}}$

上述的 ${\displaystyle e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}N_{2}}}(m_{1}n_{2})}}$ 被称为twiddle factor，需要额外的乘法去做运算。

由于${\displaystyle n_{1},m_{1}=0,1,2,....,N_{2}-1}$, ${\displaystyle n_{2},m_{2}=0,1,2,....,N_{1}-1}$

twiddle factors的数量为 ${\displaystyle N=N_{1}*N_{2}}$，移去 ${\displaystyle m_{1}=0}$ 以及 ${\displaystyle n_{2}=0}$ 的情况，至多需要 ${\displaystyle (N_{1}-1)*(N_{2}-1)}$个twiddle factors。

分阶段解析

Step1

令 ${\displaystyle g[n_{1},n_{2}]=f[n_{1}N_{1}+n_{2}]}$

Step2

固定 ${\displaystyle n_{2}}$，对 ${\displaystyle n_{1}}$ 做 ${\displaystyle N_{2}-point}$ ${\displaystyle DFT}$。

${\displaystyle G_{1}[m_{1},n_{2}]=\sum _{n_{1}=0}^{N_{2}-1}g[n_{1},n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N_{2}}}(m_{1}n_{1})}}$

由于${\displaystyle n_{2}=0,1,2,....,N_{1}-1}$，所以有 ${\displaystyle N_{1}}$ 个 ${\displaystyle N_{2}-point}$ ${\displaystyle DFT_{s}}$

Step3

${\displaystyle G_{2}[m_{1},n_{2}]=G_{1}[m_{1},n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}N_{2}}}(m_{1}n_{2})}}$ (twiddle factors)

Step4

固定 ${\displaystyle n_{2}}$，对 ${\displaystyle n_{2}}$ 做 ${\displaystyle N_{1}-point}$ ${\displaystyle DFT}$。

${\displaystyle G_{3}[m_{1},m_{2}]=\sum _{n_{2}=0}^{N_{1}-1}g[m_{1},n_{2}]e^{-{\frac {2\pi i}{N_{1}}}(m_{2}n_{2})}}$

由于${\displaystyle m_{1}=0,1,2,....,N_{2}-1}$，所以有 ${\displaystyle N_{2}}$ 个 ${\displaystyle N_{1}-point}$ ${\displaystyle DFT_{s}}$

Step5

${\displaystyle F[m_{1}+m_{2}N_{2}]=G_{3}[m_{1},m_{2}]}$

实际乘法量计算

${\displaystyle N=N_{1}*N_{2}}$

假设 ${\displaystyle N_{1}-point}$ DFT 的乘法量为 ${\displaystyle B_{1}}$， ${\displaystyle N_{2}-point}$ ${\displaystyle DFT}$ 的乘法量为 ${\displaystyle B_{2}}$

且 ${\displaystyle m_{1}n_{2}}$ 中，

有 ${\displaystyle D_{1}}$ 个值不为 ${\displaystyle N/12}$ 以及 ${\displaystyle N/8}$ 的倍数

有 ${\displaystyle D_{2}}$ 个值为 ${\displaystyle N/12}$ 或 ${\displaystyle N/8}$ 的倍数，但不为 ${\displaystyle N/4}$ 的倍数

则 ${\displaystyle N-point}$ ${\displaystyle DFT}$ 的乘法量数量为 ${\displaystyle N_{2}B_{1}+N_{1}B_{2}+3D_{1}+2D_{2}}$ 个。

补充说明:

${\displaystyle a}$为一复数，则 ${\displaystyle a*e^{i\theta }}$ 一般需要 3个乘法，但若 ${\displaystyle \theta }$ = ${\displaystyle \pi /4}$ 或 ${\displaystyle \theta }$ = ${\displaystyle \pi /3}$ 则只需要2个乘法。

简单范例

${\displaystyle 16-point}$ ${\displaystyle DFT}$, ${\displaystyle 16=4*4}$

${\displaystyle 4-point}$ needs ${\displaystyle 0\ MUL_{s}}$

${\displaystyle m_{1}n_{2}}$ = ${\displaystyle 0,0,0,0,0,1,2,3,0,2,4,6,0,3,6,9}$

${\displaystyle D_{1}}$ = 4 (1, 3, 3, 9), ${\displaystyle D_{2}}$ = 4 (2, 2, 6, 6)

总计需要 ${\displaystyle 4*0+4*0+3*4+2*4=20MUL_{s}}$

相关条目

• 快速傅立叶变换
• 中国剩余定理
• Bézout引理