密克定理

密克定理（英语：Miquel's theorem）是几何学中关于相交圆的定理。1838年，密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陈述

三圆定理：设三个圆${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$交于一点${\displaystyle O}$，而${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$分别是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{2}}$和${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{1}}$的另一交点。设${\displaystyle A}$为${\displaystyle C_{1}}$的点，直线${\displaystyle MA}$交${\displaystyle C_{2}}$于${\displaystyle B}$，直线${\displaystyle PA}$交${\displaystyle C_{3}}$于${\displaystyle C}$。那么${\displaystyle B}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle C}$这三点共线。

逆定理：如果${\displaystyle \triangle ABC}$是三角形，${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$三点分别在边${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$上，那么三角形${\displaystyle \triangle AMP}$, ${\displaystyle \triangle BMN}$, ${\displaystyle \triangle CNP}$的外接圆交于一点${\displaystyle O}$。

完全四线形定理：如果${\displaystyle ABCDEF}$是完全四线形，那么三角形${\displaystyle \triangle EAD}$, ${\displaystyle \triangle EBC}$, ${\displaystyle \triangle FAB}$, ${\displaystyle \triangle FDC}$的外接圆交于一点 ${\displaystyle O}$，称为密克点。

四圆定理：设${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$,${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$为四个圆，${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle B_{1}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{2}}$的交点，${\displaystyle A_{2}}$和${\displaystyle B_{2}}$是${\displaystyle C_{2}}$ 和${\displaystyle C_{3}}$的交点，${\displaystyle A_{3}}$和${\displaystyle B_{3}}$是${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交点，${\displaystyle A_{4}}$和${\displaystyle B_{4}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交点。那么${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$四点共圆当且仅当${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle B_{2}}$, ${\displaystyle B_{3}}$, ${\displaystyle B_{4}}$四点共圆。

五圆定理：设${\displaystyle ABCDE}$为任意五边形，五点${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$分别是${\displaystyle EA}$和${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle BC}$和${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle CD}$和${\displaystyle EA}$, ${\displaystyle DE}$和${\displaystyle AB}$的交点，那么三角形${\displaystyle \triangle ABF}$, ${\displaystyle \triangle BCG}$, ${\displaystyle \triangle CDH}$, ${\displaystyle \triangle DEI}$, ${\displaystyle \triangle EAJ}$的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。^[1]

逆定理：设${\displaystyle C_{1},}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{5}}$五个圆的圆心都在圆${\displaystyle C}$上，相邻的圆交于${\displaystyle C}$上，那么把它们不在${\displaystyle C}$上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。

历史

1838年密克在刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。

密克的第一条定理，是很久前已有的著名经典结果，以圆周角定理证明。

完全四线形四圆的交点现在称为密克点，但这性质施泰纳在1828年已经知道，华莱士也很可能已经知道。

五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由克利福德提出及证明。

2000年12月20日，中共中央总书记江泽民到访澳门并出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题^[2]，令问题重新引起广泛兴趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。