全状态回授

全状态回授（Full state feedback）也称为极点安置（pole placement），是反馈控制系统理论中的一种控制方式，规划受控体的闭回路极点在S平面中事先定义的位置上^[1]。在规划控制系统时，会希望可以规划极点的位置，因为极点位置直接对应系统的特征值，而特征值直接影响系统的反应特性。若要用此方法控制，系统必须有可控制性。在多输入及多输出的系统中常用此方式控制，例如主动悬架系统^[2]。

原理

开回路的系统

若系统的开回路特性可以用状态方程式来表示^[3]

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}$

而其输出方程式为

${\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}$

则系统转移函数的极点也就是以下特征方程的根

${\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}$

全状态回授是利用输入向量${\displaystyle {\underline {u}}}$来达成。考虑一输入可以表示为一矩阵和状态向量的乘积，

有状态回授的系统（闭回路）

${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$.

将输入向量替换到原来的状态方程：

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}};}$

${\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}$

全状态回授系统的极点是矩阵${\textstyle A-BK}$特征方程的根，${\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}$。比较方程式的项以及理想特征方程的系数，可以得到回授矩阵${\displaystyle {\textbf {K}}}$的值，也就是让闭回路特征值在理想特征方程极点上的对应矩阵。

全状态回授的例子

考虑状态方程如下的控制系统

${\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}}$

控制前的系统其闭回路极点在${\displaystyle s=-1}$及${\displaystyle s=-2}$。假设为了响应的考量，需让闭回路极点在${\displaystyle s=-1}$及${\displaystyle s=-5}$。理想特征方程为${\displaystyle s^{2}+6s+5=0}$。

依上述步骤，可得${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}}$，而全状态回授的系统特征方程为

${\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1})}$.

让此特征方程等于理想特征方程，因此可得

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}$.

因此，${\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}$可以使闭回路极点在理想位置上，让响应也是理想值。

此作法只在单一输入的系统有效。多重输入的系统也会有K矩阵，但不唯一。因此不一定可以很快找到最佳的K值。此情形比较适合使用LQR控制器。

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