图1:在输入和输出之间有补偿电容器CC的运算放大器。运算放大器有输入阻抗Ri和输出阻抗Ro
图2:用密勒定理转换后的电路,将辅偿电容转换为输入侧的密勒电容,以及输出侧随频率变化的电流源
这些例子可以看出在图1的运算放大器中加入电容器CC,有两个目的:使得放大器最低频的极点频率再降低,并且将次低频率的极点频率提高[5]。图1的放大器其低频的极点是因为加入的输入阻抗Ri以及电容Ci,其时间常数是Ci ( RA || Ri )。因为密勒定理的缘故,此极点的频率会降低。此放大器有一个频率较高的极点,是因为负载电阻RL和电容CL,其时间常数是CL ( Ro || RL )。此极点的频率会因为密勒放大的补偿电容器CC影响了输出电压分压器的频率相依关系,因此频率会提高。
第一个目的,也就是将最低频率极点的频率调低,可以用类似密勒效应条目中的作法。依照密勒定理中所述的程序,图1的电路可以转换为图2的电路,两者在电气上是等效的。将基尔霍夫电路定律应用在图2的输入侧,可以找到给理想运算放大器的电压是信号电压
的函数

其滚降从频率f1开始

其中的
是最低极点的时间常数,比原始的时间常数要低,原始的时间常数对应CC = 0 F时,是
。
若考虑第二个目的,让较高频率的极点频率再往上增加,需要看电路的输出侧,输出侧为整体增益增加了第二个因子,也有额外的频率相依性,电压
是由理想放大器的增益决定的

利用这个关系,再在输出侧应用基尔霍夫电路定律,可以得到负载电压
相对于运算放大器输入电压
的函数:


这个运算式可以结合输入侧电路的增益,得到整体增益是




增益公式中是一个单纯的二阶响应,有二个时间常数(其中也有一个零点,假设放大器增益Av很大的话,此零点只有在很高频率才需要考虑,目前的讨论可以假设分子是1)。不过,虽然放大器看似二极的行为,但这二个时间常数比上述的要复杂,因为密勒电容中有藏着一个频率相依性,在较高频时就需要考虑。假设输出R-C乘积CL ( Ro || RL ),对应一个比低频极点频率要高很多的频率。那么密勒电容的值就不能用密勒近似的公式,需要用精确值。根据密勒定理,密勒电容为

(针对一个正的密勒电容,Av为负值)。将此结果代入增益公式中,增益可以改写如下:

其中Dω是ω的二次式:

上述的二次式可以改写如下:


其中
and
是Dω公式中结合了电阻和电容的值。[6]。可以对应放大器二个极点的时间常数。其中一个是比较大,假设
是较大的时间常数,对应最低的极点,另外再假设
>>
(若要有良好的阶跃响应,会需要
>>
,可以看以下的如何选择CC章节)
在放大器最低极点还低的频段,ω的线性项比二次项影响更大,因此Dω的低频特性为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd0f9ef8223ef56ea344ff62caaab160fb13edd)
其中的CM会用密勒效应重新定义为

就是之前低频计算的密勒电容。以此基础下,假设
>>
,可以确定
。因为CM很大,时间常数
远大于其原始值Ci ( RA || Ri ).[7]
在高频时平方项影响较小,假设上述有关
的结果有效,对应较高频率的第二个时间常数,可以由Dω的二次项求得,为

将平方项系数的公式代到
,再加上
的估计值,可以得到第二个极点的估计位置:

因为CM很大,
会比原来的值CL ( Ro || RL )要小,也就是说,较高频率的极点其频率会因为CC而提高.[8]。
简单来说,导入CC降低低频极点,提高高频极点。因此符合“极点分离”字面上的意思。