兰道问题

在1912年国际数学家大会中， 爱德蒙·兰道列出了关于素数的四个基本问题。他认为这些问题“在当前的数学认识下无法解决”，后人将这些问题称之为兰道问题。这四个问题如下：

1. 哥德巴赫猜想：是否每一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和？
2. 孪生素数猜想：是否存在无穷多个素数p，使得p +2也是素数？
3. 勒让德猜想：是否在所有连续的平方数之间至少存在一个素数？
4. 是否有无穷多个素数p，使得p −1是一个平方数？ 换句话说：是否有无穷多个形式为n² +1的素数？ （OEIS数列A002496）

德国数学家爱德蒙·兰道的玉照。

到2020年为止，所有四个问题都未得到解决。

解答进度

哥德巴赫猜想

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猜想大于5的奇数都可以表示成3个质数之和的弱哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想的一个结果。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数n都可以表示成3个质数之和；^[1]2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特推广此结果，并完全证明了弱哥德巴赫猜想。^[2][3][4]

陈氏定理是哥德巴赫猜想的另一个弱化形式，这定理指称任意大的正整数n都可表示成${\displaystyle 2n=p+q}$的形式，其中p是质数而q是质数或半质数，^{[note 1]} Bordignon、Johnston和Starichkova三氏^[5]之后对山田^[6]的结果进行修正和改进，并证明了陈氏定理的明确形式：任意大于${\displaystyle e^{e^{32,7}}\approx 1.4\cdot 10^{69057979807814}}$的偶数，都可表示成一个质数和一个至多是两个质数的乘积的自然数的和。

在假定狄利克雷L函数上的广义黎曼猜想成立的状况下，Bordignon和Starichkova两氏^[7]将这下界给改进至${\displaystyle e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}}$；另外Johnston和Starichkova两氏在将“至多是两个质数的乘积的自然数”换成“至多是369个质数的乘积的自然数”的前提下，给出了一个对任意${\displaystyle 4\leq n}$都成立的版本，在广义黎曼猜想成立的状况下，可将369降至33。^[8]

Montgomery（英语：Hugh Montgomery (mathematician)）和Vaughan（英语：Robert Charles Vaughan (mathematician)）两氏证明了说不能表示成两个质数的和的例外偶数的自然密度为零，但目前未能证明说这集合是有限的。^[9]

目前对这例外集合大小最好的结果为对充分大的x而言，有${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$，由Pintz（英语：János_Pintz）得出；^[10][11]而在假定黎曼猜想成立的状况下，Goldston（英语：Daniel Goldston）证明了说${\displaystyle E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x}$。^[12]

Linnik（英语：Yuri Linnik）证明了说足够大的偶数可表示成两个质数和（某个非有效的）K个2的幂的总和。^[13]在做了许多改进后，Pintz（英语：János_Pintz）和Ruzsa（英语：Imre Z. Ruzsa）两氏^[14]证明了说${\displaystyle K=8}$，且在广义黎曼猜想成立的状况下可将之改进至${\displaystyle K=7}$。^{[15][note 2]}

孪生质数猜想

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2013年张益唐^[16]证明了说有无限多对质数，其彼此的间隙小于七千万，之后在Polymath计划（英语：Polymath Project）的合作者努力下，这数值降至246。^[17]

在广义埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想（英语：Elliott–Halberstam conjecture）成立的状况下，可借由詹姆斯·梅纳德^[18]和Goldston（英语：Daniel Goldston）、Pintz（英语：János_Pintz）和Yildirim（英语：Cem Yıldırım）三氏^[19]的结果，将这数值改进至6。

1966年陈景润证明了说有无限多个质数p，使得p+2是质数或半质数。这类的质数后来被人称为陈质数。

勒让德猜想

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可以验证说，p的质数间隙小于${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$。利用最大质数间隙表，可知此猜想对至少大到${\displaystyle 2^{64}\approx 1.8\times 10^{19}}$的质数成立。^[20]一个接近如此大小的反例，其质数间隙至少是平均间隙的一亿倍。

在改进Heath-Brown^[21]和Matomäki^[22]结果的基础下，Järviniemi^[23]证明了说至多只有${\displaystyle x^{7/100+\varepsilon }}$个例外质数，会出现在大于${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$的质数间隙之后；特别地，以下关系式成立：

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.}$

从艾伯特·英厄姆（英语：Albert Ingham）对质数间隙的结果可得出，对于足够大的${\displaystyle n}$而言，在完全立方数${\displaystyle n^{3}}$及${\displaystyle (n+1)^{3}}$之间总有一个质数。^[24]

X²+1质数

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兰道的第四个问题问的是，若n是整数，是否有无限多个形如${\displaystyle p=n^{2}+1}$的质数。（A002496列出了有如此形式的质数）这猜想可由诸如布尼亚科夫斯基猜想和Bateman–Horn猜想（英语：Bateman–Horn conjecture）等数论猜想立即推出。截至2024年 (2024-Missing required parameter 1=month!)^[update]为止，这问题依旧开放。

一个有如此形式质数的例子是费马质数；另外亨里克·伊万尼兹证明了有无限多个形如${\displaystyle n^{2}+1}$的数，有至多两个质因数。^[25][26]

Ankeny（英语：Nesmith Ankeny）^[27]和Kubilius（英语：Jonas Kubilius）^[28]两氏证明，在对赫克特征（英语：Hecke character）的L函数的扩展黎曼猜想成立的状况下，会有无限多形如${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$且${\displaystyle y=O(\log p)}$的质数。兰道的猜想问的是更强的${\displaystyle y=1}$的情况；而目前最好的无条件结果由Harman和Lewis两氏所证明^[29]，其中${\displaystyle y=O(p^{0.119})}$。

在改进前人结果的基础下，^{[30][31][32][33][34]}Merikoski^[35]证明了说有无限多个形如${\displaystyle n^{2}+1}$的数，其最大的质因数的大小至少为${\displaystyle n^{1.279}}$。^{[note 3]}将指数项改进为2即可证明兰道的猜想。

弗里兰-伊万尼兹定理（英语：Friedlander–Iwaniec theorem）指出有无限多的质数可表成${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$的形式。^[36]

Baier和赵两氏^[37]证明说有无限多形如${\displaystyle p=an^{2}+1}$的质数，其中${\displaystyle a<p^{5/9+\varepsilon }}$。在广义黎曼猜想成立的状况下，a指数项的部分可改进至${\displaystyle 1/2+\varepsilon }$，且在特定类似埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想（英语：Elliott–Halberstam conjecture）的猜想成立的状况下可改进至${\displaystyle \varepsilon }$。

利用布朗筛法可得出说形如${\displaystyle p=n^{2}+1}$的质数的密度的上界：对于不大于${\displaystyle x}$的数而言，至多有${\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)}$形如X²+1的质数。因此几乎所有形如X²+1的数都是合成数。

参见

• 未解决的数学问题
• 希尔伯特问题

注解

1. 而半质数是一种作为两个质数的乘积的自然数。
2. 对此可参看János Pintz, Approximations to the Goldbach and twin prime problem and gaps between consecutive primes, Probability and Number Theory (Kanazawa, 2005), Advanced Studies in Pure Mathematics 49, pp. 323–365. Math. Soc. Japan, Tokyo, 2007.一文以得到更多相关讯息
3. Merikoski另外给出了两个猜想，分别可将指数项给改进为1.286和1.312。