判别式

判别式是代数学中的概念，它可以推断出一个实系数或复系数多项式的根的属性。

一元二次多项式的判别式 ${\displaystyle \Delta }$与其函数图像之间的关系

当多项式的系数不是实数或复数域时，同样有判别式的概念。判别式总是系数域中的元素。这时，判别式为零当且仅当多项式在它的分裂域中有重根。判别式的通常形式为：

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

其中的${\displaystyle a_{n}}$是多项式的最高次项系数，${\displaystyle r_{1},...,r_{n}}$是多项式在某个分裂域中的根（如有重根的按重数重复排列）。

判别式的概念也被推广到了多项式以外的其它代数结构，比如说圆锥曲线、二次型和代数数域中。在代数数论中，判别式与所谓的“分歧”的概念紧密相关。实际上，愈为几何的分歧类型对应着愈为抽象的判别式类型，因此在许多方面判别式都是一个中心概念。判别式在本质上表现为相应行列式的计算。

定义

二次方程的判别式

最简单的判别式情形出现在二次多项式方程的求解中。假设有二次多项式方程${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$，其中系数${\displaystyle a,b,c}$为实数，则它的判别式定义为：

${\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\,}$

判别式也是一个实数。如果设方程的两个根为${\displaystyle r_{1}}$和${\displaystyle r_{2}}$，那么根据二次方程的求根公式，两个根可以表示为：

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\quad \;\;r_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}.}$

方程的根与判别式的关系为：

${\displaystyle \Delta =a^{2}(r_{1}-r_{2})^{2}.}$

两个根都是实数，当且仅当判别式大于等于零。当且仅当两根相等时，判别式等于零。如果判别式小于零，则两根是共轭的复数。

三次方程的判别式

• 三次多项式${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$的判别式是

${\displaystyle \Delta =b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,}$

• 二次项系数为零的首一三次多项式${\displaystyle x^{3}+px+q\,}$的判别式是：

${\displaystyle \Delta =-4p^{3}-27q^{2}\,}$

四次方程的判别式

• 四次多项式${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}$的判别式是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta =&b^{2}c^{2}d^{2}-4b^{3}d^{3}-4ac^{3}d^{2}+18abcd^{3}\\&-27a^{2}d^{4}+256a^{3}e^{3}-4b^{2}c^{3}e+18b^{3}cde\\&+16ac^{4}e-80abc^{2}de-6ab^{2}d^{2}e+144a^{2}cd^{2}e\\&-27b^{4}e^{2}+144ab^{2}ce^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}-192a^{2}bde^{2}\,\end{aligned}}}$

二次判别式

二次多项式${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c\,}$的判别式是${\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}$。在一元二次方程的求解中，判别式用来判断方程根的情况，并出现在根的表达式中。

• 如果${\displaystyle D>0\,}$，那么${\displaystyle P(x)\,}$有两个相异实根${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$，即${\displaystyle P(x)\,}$的图像穿过${\displaystyle x\,}$轴两次。
• 如果${\displaystyle D=0\,}$，那么${\displaystyle P(x)\,}$有两个相等实根${\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}\,}$，${\displaystyle P(x)\,}$的图像与${\displaystyle x\,}$轴相切。
• 如果${\displaystyle D<0\,}$，那么${\displaystyle P(x)\,}$没有实根，即${\displaystyle P(x)\,}$的图像与${\displaystyle x\,}$轴没有交点。

一般多项式的判别式

对于一般的一个多项式

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$，

其判别式等于（差一个系数）以下的${\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)\,}$的矩阵的行列式（见西尔维斯特矩阵）：

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &\ldots &0\\&0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}&0\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&\ldots \ &0&a_{n}&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots &a_{1}&a_{0}\\&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &\ldots &0\\&0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}&0&\ldots &0\\&\vdots \ &&&&&&&&\vdots \\&0&0&\ldots &0&na_{n}&(n-1)a_{n-1}&(n-2)a_{n-2}&\ldots \ &a_{1}\\\end{matrix}}\right].}$

这个矩阵的行列式称为${\displaystyle p(x)\,}$和${\displaystyle p'(x)\,}$的结式，记为${\displaystyle R(p,p')\,}$。${\displaystyle p(x)\,}$的判别式${\displaystyle D(p)\,}$由以下公式给出：

${\displaystyle D(p)=(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}{\frac {1}{a_{n}}}R(p,p')\,}$.

例如，在${\displaystyle n=4\,}$的情况下，以上的行列式是：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0&0\\&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&0\\&0&0&a_{4}&a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0&0\\&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0&0\\&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}&0\\&0&0&0&4a_{4}&3a_{3}&2a_{2}&1a_{1}\\\end{vmatrix}}}$

这个四次多项式的判别式就是这个行列式除以${\displaystyle a_{4}\,}$。

作为等价条件，多项式的判别式等于：

${\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}$

其中${\displaystyle r_{1},\cdots ,r_{n}\,}$是多项式${\displaystyle p(x)\,}$的复根（重根按重数计算）：

${\displaystyle {\begin{matrix}p(x)&=&a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\\&=&a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\ldots (x-r_{n})\end{matrix}}}$

在这个表达式中可以清楚地看到${\displaystyle p\,}$有重根当且仅当判别式为零。

多项式的判别式可以在任意的域中定义，定义方式一样。带有根${\displaystyle r_{i}\,}$的表达式仍然有效，只是根要在系数域的某个分裂域中取。

圆锥曲线的判别式

对于以下多项式所定义的圆锥曲线：

${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0}$

它的判别式为：

${\displaystyle b^{2}-4ac}$

它决定了圆锥曲线的形状。如果判别式小于0，则是椭圆或圆。如果判别式等于0，则是一条抛物线。如果大于0，则是双曲线。这个公式不适用于退化的情形（当这个多项式可以因式分解时）。

二次型的判别式

判别式的概念可以推广到任意特征不为2的域${\displaystyle K}$上的二次型${\displaystyle Q}$上。一个化简后的二次型可以表示为一系列的平方和：

${\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{k}a_{i}L_{i}^{2}}$

其中${\displaystyle L_{i}}$是${\displaystyle n}$个变量的线性组合。这时可以定义${\displaystyle Q}$的判别式为所有${\displaystyle a_{i}}$的乘积。另外一个定义是${\displaystyle Q}$所对应的矩阵的行列式。

代数数域的判别式

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参见

• 二次函数
• 一元二次方程
• 多项式
• 圆锥曲线
• 二次型

参考资料与外部链接

• 结式与判别式的关系^{[永久失效链接]}
• Mathworld中的文献（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Planetmath中的文献