前推 (微分)

本文考虑微分几何中的前推算子，由光滑流形间的光滑映射的微分诱导。关于术语“前推”在数学中的其他使用，参见前推。

假设 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形之间的光滑映射；则 ${\displaystyle \phi }$ 在一点 ${\displaystyle x}$ 处的微分在某种意义上是 ${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 附近的最佳线性逼近。这可以视为通常微积分中全导数的推广。确切地说，它是从 ${\displaystyle M}$ 在 ${\displaystyle x}$ 处的切空间到 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle \phi (x)}$ 处的切空间的一个线性映射，从而可以将 ${\displaystyle M}$ 的切向量“前推”成 ${\displaystyle N}$ 的切向量。

映射 ${\displaystyle \phi }$ 的微分也被一些的作者称为 ${\displaystyle \phi }$ 的导数或全导数，有时它自己也之称为前推（pushforward）。

动机

设 ${\displaystyle \phi :U\rightarrow V}$是从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 的一个开集 ${\displaystyle U}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的开集 ${\displaystyle V}$ 的一个光滑映射。对任何 ${\displaystyle U}$ 中的给定点 ${\displaystyle x}$， ${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 的雅可比矩阵（关于标准坐标）是 ${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 的全微分的矩阵表示，这是一个从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的线性映射：

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}\ .}$

我们希望将其推广到 ${\displaystyle \phi }$ 是“任何”两个光滑流形 ${\displaystyle M}$ 与 ${\displaystyle N}$ 之间的光滑映射。

光滑映射的微分

令 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 是光滑流形间的光滑映射。给定某点 ${\displaystyle x\in M}$，${\displaystyle \phi }$ 在 ${\displaystyle x}$ 的微分或（全）导数是从 ${\displaystyle M}$ 在 ${\displaystyle x}$ 的切空间到 ${\displaystyle N}$ 在 ${\displaystyle \phi (x)}$ 的切空间一个线性映射

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\ ,}$

映射 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}}$ 运用到切向量 ${\displaystyle X}$ 上有时称为 ${\displaystyle X}$ 由 ${\displaystyle \phi }$ 的前推。前推的确切定义取决于我们怎样定义切向量（不同的定义可参见切空间）。

如果我们定义切向量为通过 ${\displaystyle x}$ 的曲线等价类，那么微分由

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0)}$

给出，这里 ${\displaystyle \gamma }$ 是 ${\displaystyle M}$ 上满足 ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ 的一条曲线。换句话说，一条曲线 ${\displaystyle \gamma }$ 在 0 处切向量的前推恰好是 ${\displaystyle \phi \circ \gamma }$ 在 0 处的切向量。

另一种方式，如果切向量定义为作用在光滑实值函数上的导子，那么微分由

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}(X)(f)=X(f\circ \varphi )}$

给出，这里 ${\displaystyle X\in T_{x}M}$，从而 ${\displaystyle X}$ 是定义在 ${\displaystyle M}$ 上的一个导子而 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle N}$ 上一个光滑实值函数。根据定义，在给定 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle x}$ 处 ${\displaystyle X}$ 的前推在 ${\displaystyle T_{\phi (x)}N}$中，从而定义了一个 ${\displaystyle N}$ 上的导子。

取定 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle \phi (x)}$ 附近的坐标卡以后，${\displaystyle F}$ 局部由 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 与 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 之间的光滑映射

${\displaystyle {\hat {\varphi }}:U\rightarrow V}$

确定。而 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}}$ 具有表示（在 ${\displaystyle x}$ 附近）：

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi _{x}{\Bigl (}{\frac {\partial }{\partial u^{a}}}{\Bigr )}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}{\frac {\partial }{\partial v^{b}}},}$

这里使用了爱因斯坦求和约定，偏导数对 ${\displaystyle x}$ 坐标卡相应的 ${\displaystyle U}$ 中的点取值。

线性扩张得到如下矩阵

${\displaystyle (\mathrm {d} \varphi _{x})_{a}^{\;b}={\frac {\partial {\hat {\varphi }}^{b}}{\partial u^{a}}}.}$

从而光滑映射 ${\displaystyle \phi }$ 在每一点的微分是切空间之间的一个线性变换。从而在某些选定的局部坐标下，它表示为相应的从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 光滑映射的雅可比矩阵。一般情形，微分不要求可逆。如果 ${\displaystyle \phi }$ 是一个局部微分同胚，那么在 ${\displaystyle x}$ 点的前推是可逆的，其逆给出 ${\displaystyle T_{\phi (x)}N}$ 的拉回。

另外，局部微分同胚的微分是切空间之间的线性同构。

微分经常有其他一些记法，比如

${\displaystyle D\varphi _{x},\;(\varphi _{*})_{x},\;\varphi '(x)\ .}$

从定义可得出复合函数的微分便是微分的复合（即，具有函子性质），这便是光滑函数微分的链式法则。

切丛上的微分

光滑映射 ${\displaystyle \phi }$ 的微分以显而易见的方式诱导了从 ${\displaystyle M}$ 的切丛到 ${\displaystyle N}$ 的切丛的一个丛映射（事实上是向量丛同态），记为 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi }$ 或 ${\displaystyle \phi *}$，满足如下的交换图表：

这里 ${\displaystyle \pi _{M}}$ 与 ${\displaystyle \pi _{N}}$ 分别表示 ${\displaystyle M}$ 与 ${\displaystyle N}$ 切丛的丛投影。

等价地（参见丛映射），${\displaystyle \phi *=\operatorname {d} \!\phi }$ 是从 ${\displaystyle TM}$ 到 ${\displaystyle M}$ 上的拉回丛 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的丛映射，这可以看成 ${\displaystyle M}$ 上向量丛 ${\displaystyle \hom(TM,\phi ^{*}TN)}$ 的一个截面。

向量场的前推

给定了一个光滑映射 ${\displaystyle \phi :M\rightarrow N}$ 与 ${\displaystyle M}$ 上一个向量场 ${\displaystyle X}$，一般不能定义 ${\displaystyle X}$ 通过 ${\displaystyle \phi }$ 的前推为 ${\displaystyle N}$ 的一个向量场。譬如，如果映射 ${\displaystyle \phi }$ 不是满射，则在 ${\displaystyle \phi }$ 的像外部没有自然的方式定义拉回；如果 ${\displaystyle \phi }$ 不是单射也有可能在给定一点拉回不止一种选择。无论如何，可以用“沿着映射的向量场”概念将难处变精确。

${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的一个截面称为沿着 ${\displaystyle \phi }$ 的向量场。例如，如果 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的一个子丛而 ${\displaystyle \phi }$ 是包含映射，那么沿着 ${\displaystyle \phi }$ 的向量场恰好是 ${\displaystyle N}$ 沿着 ${\displaystyle M}$ 的切丛的一个截面；特别的，${\displaystyle M}$ 上的向量通过 ${\displaystyle TM}$ 包含到 ${\displaystyle TN}$ 中定义这样一个截面。这种想法推广到任何光滑映射。

假设 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle M}$ 上一个向量场，即 ${\displaystyle TM}$ 的一个截面。那么，运用逐点微分得出 ${\displaystyle X}$ 的前推 ${\displaystyle \phi ^{*}X}$，这是一个沿着 ${\displaystyle \phi }$ 的向量场，即 ${\displaystyle M}$ 上 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的一个截面。

任何 ${\displaystyle N}$ 上的向量场 ${\displaystyle Y}$ 定义了 ${\displaystyle \phi ^{*}TN}$ 的一个拉回截面 ${\displaystyle \phi ^{*}Y}$ 使得 ${\displaystyle (\phi ^{*}Y)_{X}=Y_{\phi (x)}}$。${\displaystyle M}$ 上一个向量场 ${\displaystyle X}$ 与 ${\displaystyle N}$ 上一个向量场 ${\displaystyle Y}$ 称为 ${\displaystyle \phi }$-相关的，如果作为沿着 ${\displaystyle \phi }$ 的向量场有 ${\displaystyle \phi *X=\phi ^{*}Y}$。换句话说，对任何 ${\displaystyle x}$ 属于 ${\displaystyle M}$，有 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}(X)=Y_{\phi (x)}}$。

在某些情形，给定 ${\displaystyle M}$ 上一个向量场 ${\displaystyle X}$，${\displaystyle N}$ 上只有惟一的向量场 ${\displaystyle Y}$ 与 ${\displaystyle X\phi }$-相关。特别地，这在 ${\displaystyle \phi }$ 是微分同胚时自然成立。在这种情况下，前推定义了 ${\displaystyle N}$ 上一个向量场 ${\displaystyle Y}$，由

${\displaystyle Y_{x}=\varphi _{*}(X_{\varphi ^{-1}(x)}).}$

给出。一个更一般的情形是 ${\displaystyle \phi }$ 为满射（比如纤维丛的丛投影）。这时 ${\displaystyle M}$ 上的向量场 ${\displaystyle X}$ 称为可投影的，如果对任何 ${\displaystyle y}$ 属于 ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle \operatorname {d} \!\phi _{x}(X_{x})}$ 与 ${\displaystyle x}$ 属于 ${\displaystyle \phi ^{-1}(\{y\})}$ 的取法无关。这恰好是保证 ${\displaystyle X}$ 的前推可以作为 ${\displaystyle N}$ 上的一个良定的向量场的条件。

参阅

• 拉回

参考文献

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.