雅可比矩阵

在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩阵，英语：Jacobian matrix）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。

当其为方形矩阵时，其行列式称为雅可比行列式（Jacobi determinant）。要注意的是，在英文中雅可比矩阵跟雅可比行列式都可称作Jacobian。^[1]

其重要性在于，如果函数 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ 在点 ${\displaystyle x}$ 可微的话，在点 ${\displaystyle x}$ 的雅可比矩阵即为该函数在该点的最佳线性逼近，也代表雅可比矩阵是单变数实数函数的微分在向量值多变数函数的推广，在这种情况下，雅可比矩阵也被称作函数 ${\displaystyle f}$ 在点 ${\displaystyle x}$ 的微分或者导数。

在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇（英语：Jacobian variety）：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。

它们都以普鲁士数学家卡尔·雅可比命名。

雅可比矩阵

假设某函数从 ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$， 从 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 映射到 向量 ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} ^{m}}$， 其雅可比矩阵是一 ${\displaystyle m\times n}$ 的矩阵，换句话讲也就是从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ 的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。

此函数 ${\displaystyle f}$ 的雅可比矩阵 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 为 ${\displaystyle m\times n}$ 的矩阵，一般由以下方式定义：

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

矩阵的分量可表示成：

${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

雅可比矩阵的其他常用符号还有：

${\displaystyle Df}$、 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }$、${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ 或者 ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$

此矩阵的第 ${\displaystyle i}$ 行是由函数 ${\displaystyle f_{i}}$ 的梯度函数所表示的，${\displaystyle 1\leq i\leq m}$ 。

如果 ${\displaystyle p}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的一点，${\displaystyle f}$在 ${\displaystyle p}$点可微分，根据数学分析， ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}$是在这点的导数。在此情况下，${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)}$这个线性映射即 ${\displaystyle f}$ 在点  ${\displaystyle p}$附近的最优线性逼近，也就是说当 ${\displaystyle x}$足够靠近点  ${\displaystyle p}$时，我们有

${\displaystyle f(x)\approx f(p)+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(p)\cdot (x-p)}$

讲更详细点也就是：

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {p} )+\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)}$

其中，${\displaystyle o}$ 代表小o符号，${\displaystyle \lVert x-p\rVert }$ 为 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle p}$ 之间的距离。

例子

例一

由球坐标系到直角坐标系的转化由 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{+}\times [0,\pi )\times [0,2\pi )\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ 函数给出，其分量为：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y&=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

此坐标变换的雅可比矩阵是

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\theta ,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial r}}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{bmatrix}}}$

其雅可比行列式为 ${\displaystyle r^{2}\sin \theta }$。以体积元变换为例，由于 ${\displaystyle \operatorname {d} \!V=\operatorname {d} \!x\ \operatorname {d} \!y\ \operatorname {d} \!z}$，如果做变数变换，则其体积元（Volume element， ${\displaystyle \operatorname {d} \!V}$），会变成：${\displaystyle \operatorname {d} \!V=r^{2}\sin \theta \operatorname {d} \!r\operatorname {d} \!\theta \operatorname {d} \!\varphi }$。

例二

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}}$，其各分量为

${\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}$

${\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin x_{1}\,}$

其雅可比矩阵为:

${\displaystyle J_{F}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}}$

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中

考虑形为 ${\displaystyle x^{\prime }=F(x)}$的动力系统，${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$。如果 ${\displaystyle F(x_{0})=0}$，那么 ${\displaystyle x_{0}}$是一个临界点。系统接近临界点时的行为跟 ${\displaystyle J_{F}(x_{0})}$的特征值相关。

雅可比行列式

如果 ${\displaystyle m=n}$，那么 ${\displaystyle F}$ 是从 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 映射到 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的函数，且它的雅可比矩阵是一个方阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了 F 在接近该点时的表现的重要资讯。例如，如果连续可微函数 ${\displaystyle F}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点的Jacobi行列式不等于零，那么它在该点附近有 ${\displaystyle F}$ 的反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果  ${\displaystyle p}$ 点的Jacobi行列式是正数，则 ${\displaystyle F}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点保持定向（preserves orientation）；如果是负数，则 ${\displaystyle F}$ 逆转定向（reverses orientation）。而从Jacobi行列式的绝对值，就可以知道函数 ${\displaystyle F}$ 在 ${\displaystyle p}$ 点附近是放大或缩小体积；这就是它出现在换元积分法中的原因。

例子一

设有函数 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$，其分量为：

${\displaystyle y_{1}=5x_{2}\,}$

${\displaystyle y_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\,}$

${\displaystyle y_{3}=x_{2}x_{3}\,}$

则它的Jacobi行列式为：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}}$

从中我们可以看到，当 ${\displaystyle x_{1}}$ 和 ${\displaystyle x_{2}}$ 同号时，${\displaystyle F}$ 逆转定向；该函数处处具有反函数，除了在 ${\displaystyle x_{1}=0}$ 或 ${\displaystyle x_{2}=0}$ 的点。

例子二

这是一个与巴塞尔问题${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$较为相似的级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$的求解方法，首先可以转化为二重积分（在这里 ${\displaystyle D_{1}}$ 指 ${\displaystyle x}$ 与 ${\displaystyle y}$ 皆为从 0 到 1 的正方形区域）：

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}=\iint \limits _{D_{1}}\sum _{n=1}^{\infty }(xy)^{2n}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}}$

此时定义映射 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$，满足：

${\displaystyle {\begin{cases}u=\arctan \left(x{\sqrt {\dfrac {1-y^{2}}{1-x^{2}}}}\right)\\v=\arctan \left(y{\sqrt {\dfrac {1-x^{2}}{1-y^{2}}}}\right)\end{cases}}\iff {\begin{cases}x={\dfrac {\sin u}{\cos v}}\\y={\dfrac {\sin v}{\cos u}}\end{cases}}}$

于是有相应的雅可比行列式：

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}\\{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\cos u}{\cos v}}&{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}v}}\\{\dfrac {\sin u\sin v}{\cos ^{2}u}}&{\dfrac {\cos v}{\cos u}}\end{vmatrix}}=1-{\frac {\sin ^{2}u\sin ^{2}v}{\cos ^{2}u\cos ^{2}v}}=1-x^{2}y^{2}}$

因此${\displaystyle \mathrm {d} x\mathrm {d} y=(1-x^{2}y^{2})\mathrm {d} u\mathrm {d} v}$，并且将正方形 ${\displaystyle D_{1}}$ 映射成 ${\displaystyle u>0}$、${\displaystyle v>0}$、${\displaystyle u+v<{\frac {\pi }{2}}}$ 的等腰直角三角形，记为 ${\displaystyle D_{2}}$，得到：

${\displaystyle \iint \limits _{D_{1}}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{1-x^{2}y^{2}}}=\iint \limits _{D_{2}}\mathrm {d} u\mathrm {d} v=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{{\frac {\pi }{2}}-v}\mathrm {d} u\right)\mathrm {d} v={\frac {\pi ^{2}}{8}}}$

逆矩阵

根据反函数定理，一个可逆函数（存在反函数的函数）的雅可比矩阵的逆矩阵即为该函数的反函数的雅可比矩阵。即，若函数 ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$在点 ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$的雅可比矩阵是连续且可逆的，则 ${\displaystyle F}$在点 ${\displaystyle p}$的某一邻域内也是可逆的，且有

${\displaystyle J_{F^{-1}}\circ f=J_{F}^{-1}}$

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在反函数）。

一个多项式函数的可逆性与未经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。

参看

• 前推
• 黑塞矩阵