倒三角算符

倒三角算符^[1]，又称向量微分算子、Nabla算子^[2]（Nabla）、Del算子^[3]（del operator），符号为∇，是一个向量微分算子，但本身并非一个向量^[4]。

其形式化定义为：

${\displaystyle \nabla ={\mathrm {d} \over \mathrm {d} r}}$

在${\displaystyle n}$维空间中，分母${\displaystyle \mathrm {d} r}$为含${\displaystyle n}$个分量的向量，因而${\displaystyle \nabla }$本身就是个${\displaystyle n}$维向量算子。

三维情况下，${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial }{\partial z}}\mathbf {k} }$ 或 ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

二维情况下，${\displaystyle \nabla ={\frac {\partial }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial }{\partial y}}\mathbf {j} }$ 或 ${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

${\displaystyle \nabla }$作用于不同类型的量，得到的就是不同类型的新量：

${\displaystyle \nabla }$直接作用于函数${\displaystyle F(r)}$（不论${\displaystyle F}$是标量还是向量），意味着求${\displaystyle F(r)}$的梯度，表示为：${\displaystyle \nabla F(r)}$（标量函数的梯度为向量，向量的梯度为二阶张量）；

${\displaystyle \nabla }$与非标量函数${\displaystyle F(r)}$由内积符号 ${\displaystyle \cdot }$ 连接，意味着求${\displaystyle F(r)}$的散度，表示为：${\displaystyle \nabla \cdot F(r)}$；

${\displaystyle \nabla }$与非标量（三维）函数${\displaystyle F(r)}$由外积符号${\displaystyle \times }$连接，意味着求${\displaystyle F(r)}$的旋度，表示为：${\displaystyle \nabla \times F(r)}$。

名称

Nabla算子的名字来自希腊语中一种被称为纳布拉琴的竖琴。相关的词汇也存在于亚拉姆语和希伯来语中。

该符号的另一常见的名称是atled，因为它是希腊字母Δ倒过来的形状。除了atled外，它还有一个名称是del。

Del算子在标准HTML中写为&nabla，而在LaTeX中为\nabla。在Unicode中，它是十进制数8711，也即十六进制数0x2207。

Del算子在数学中用于指代梯度算符，并可组成散度、旋度和拉普拉斯算子。它也用于指代微分几何中的联络（可以视为更广意义上的梯度算子）。它由哈密尔顿引入。

参见

• 在圆柱和球坐标系中的del