动力学时标

动力学时标（英语：free-fall timescale）是衡量恒星演化的一个时标^[1]，同样也可以用来衡量星云坍缩所需要的时间。其定义为某一质点从某一物体表面落下，所到达物体中心所需的时间。动力学时标由下式给出^[2]：$${\displaystyle t_{ff}={\sqrt {{\frac {3\pi }{32}}{\frac {1}{G\rho _{0}}}}}}$$

理论推导

考虑某一位于恒星表面的质点，该质点的运动方程可以这样被写出：

${\displaystyle a={\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}}$

其中${\displaystyle M(r)}$是半径${\displaystyle r}$内的质量，${\displaystyle a}$是质点受到的加速度。通过解该微分方程，可以解出动力学时标^[2]。

通过假设整个恒星是一个球壳，可以粗略估计动力学时标的大小。加速度可以近似为${\displaystyle {\begin{smallmatrix}a\approx {\frac {R}{t_{ff}^{2}}}\end{smallmatrix}}}$，半径${\displaystyle r}$内的质量可以近似为恒星的质量（即${\displaystyle M(r)\approx M}$），而半径${\displaystyle r}$可以近似为恒星的半径${\displaystyle R}$，这样可以得到：

${\displaystyle {\frac {R}{t_{ff}^{2}}}\approx {\frac {GM}{R^{2}}}}$

再通过平均密度的定义，可以得出动力学时标的粗略估计：$${\displaystyle t_{ff}\approx {\sqrt {\frac {3}{4\pi G\rho _{0}}}}}$$这与前面的解在量纲上一致^[1]。

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