勒贝格点

在数学的实分析中，一个函数f的定义域上的一点，称为勒贝格(Lebesgue)点，大约是指在该点附近可以取任意小的邻域，使得f在这邻域上的平均，非常接近f在该点的值。

定义

若${\displaystyle \mu }$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上的拉东测度，${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$，${\displaystyle 1\leq p<\infty }$，${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\mathbb {R} ^{n},\mu )}$，即${\displaystyle |f|^{p}}$是局部可积函数，那么若点${\displaystyle x}$适合

${\displaystyle \lim _{r\to 0+}{\frac {1}{\mu (B(x,r))}}\int _{B(x,r)}|f-f(x)|^{p}\mathrm {d} \mu =0}$，

则称${\displaystyle x}$是勒贝格点。（其中${\displaystyle B(x,r)}$是以x为中心，r为半径的闭球。）勒贝格微分定理证明了在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中，勒贝格点是${\displaystyle \mu }$几乎处处的。

参考

• Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). Measure theory and fine properties of functions. CRC Press.