拉东测度

数学的测度论中，拉东（Radon）测度，是在豪斯多夫空间上的博雷尔测度，且具有局部有限及内部正则性质。

定义

设m是豪斯多夫空间X的博雷尔集的σ-代数上的测度。m称为

• 内部正则，若对任何博雷尔集B，其测度m(B)等于B的所有紧致子集K的测度m(K)的最小上界；
• 外部正则，若对任何博雷尔集B，其测度m(B)等于所有包含B的开集U的测度m(U)的最大下界；
• 局部有限，若X中任一点都有邻域U，使得m(U)为有限。
• 拉东测度，若m是内部正则及局部有限。

例子

• 欧氏空间Rⁿ上的勒贝格测度（限制到博雷尔集的σ-代数上）；
• 局部紧拓扑群上的哈尔测度；
• 任何波兰空间的博雷尔集的σ-代数上的概率测度。这例子包括了很多在非局部紧空间上的测度，比如在区间[0,1]上的实值连续函数空间上的维纳测度。

以下不是拉东测度：

• 欧氏空间上的计数测度，因为这测度不是局部有限。

性质

对偶性

在一个局部紧豪斯多夫空间上，拉东测度对应到在紧支集连续函数空间上的正线性泛函。这个性质是提出拉东测度的定义的主要原因。

度量空间结构

在${\displaystyle X}$上的所有（正）拉东测度组成的带点锥 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{+}(X)}$，可以用下述度量使成为完备度量空间。定义两个测度${\displaystyle m_{1},m_{2}\in {\mathcal {M}}_{+}(X)}$间的拉东距离为

${\displaystyle \rho (m_{1},m_{2}):=\sup \left\{\left.\int _{X}f(x)\,d(m_{1}-m_{2})(x)\ \right|f\in C(X),f:X\to [-1,1]\subset \mathbb {R} \right\}.}$

其中最小上界是对所有连续函数f: X → [-1, 1]取的。

这个度量有一些限制。例如${\displaystyle X}$上的概率测度

${\displaystyle {\mathcal {P}}(X):=\{m\in {\mathcal {M}}_{+}(X)\mid m(X)=1\}}$

关于拉东度量不是序列紧致，即是概率测度序列未必有收敛子序列。这个性质在一些应用中会造成困难。另一方面，若${\displaystyle X}$是紧致度量空间，那么 Wasserstein度量使${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$成为紧致度量空间。

在拉东度量收敛意味着测度的弱收敛：

${\displaystyle \rho (m_{n},m)\to 0\Rightarrow m_{n}\rightharpoonup m,}$

但反之则不必然。在拉东度量收敛有时称为强收敛，以便和弱收敛对比。

其他

• 约翰·拉东

外部链接

• R.A Minlos, Radon measure, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4