卡方分布

卡方分布（英语：chi-square distribution^[2], χ²-distribution，或写作χ²分布）是概率论与统计学中常用的一种概率分布。k个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k的卡方分布。卡方分布是一种特殊的伽玛分布，是统计推断中应用最为广泛的概率分布之一，例如假设检验和置信区间的计算。

卡方分布

概率密度函数
累积分布函数
参数	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{\star }~~}$ 自由度
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$，
概率密度函数	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
累积分布函数	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
期望	${\displaystyle k}$
中位数	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
众数	max{ k − 2, 0 }
方差	${\displaystyle 2k}$
偏度	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
峰度	${\displaystyle 12/k}$
熵	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}$
矩生成函数	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$，${\displaystyle 2\,t<1}$
特征函数	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$[1]

由卡方分布延伸出来皮尔逊卡方检验常用于：

1. 样本某性质的比例分布与总体理论分布的拟合优度（例如某行政机关男女比是否符合该机关所在城镇的男女比）；
2. 同一总体的两个随机变量是否独立（例如人的身高与交通违规的关联性）；
3. 二或多个总体同一属性的同素性检验（意大利面店和寿司店的营业额有没有差距）。（详见皮尔逊卡方检验）

数学定义

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互独立且符合标准正态分布的随机变量（数学期望为0、方差为1），则随机变量Z的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}$

被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作

${\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}$

${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}}$

性质

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分布的性质。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}$

其中${\displaystyle x\geq 0}$，当${\displaystyle x\leq 0}$时${\displaystyle f_{k}(x)=0}$。这里Γ代表Gamma函数。

累积分布函数

卡方分布的累积分布函数为：

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$，

其中γ(k,z)为不完全Γ函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。 卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}$

其中${\displaystyle \psi (x)}$是双伽玛函数。

卡方变量与Gamma变量的关系

当Gamma变量 频率（λ）为1/2时，α的2倍为卡方变量之自由度。 即：

${\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}$

卡方变量之期望＝自由度 卡方变量之方差＝两倍自由度

可加性

由定义可得，独立卡方变量之和同样服从卡方分布。特别地，若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$分别独立服从自由度为${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n}}$的卡方分布，那么它们的和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$服从自由度为${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}}$的卡方分布。

偏差的平方和

若k个随机变量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互独立，符合标准正态分布的随机变量，则它们与均值之间偏差的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

其中均值

${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}$

它的平方正比于自由度为1的卡方分布，即

${\displaystyle n{\bar {Z}}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$

卡方分布表

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，则可信度越高。通常用p=0.05作为阈值，即95%的可信度。

常用的χ2与p-value表如下:

自由度k \ P value （概率）	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.64	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.60	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.82	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.86	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59