双曲正弦

在数学中，双曲正弦是一种双曲函数，是双曲几何中，与欧几里得几何的正弦函数相对应的函数。双曲正弦可以视为正弦函数的类似物，然而双曲正弦不具备周期性，且在定义域为实数的情况下，其值域也包括了整个实数域。一般的正弦可以表示为单位圆上特定角构成之弦长的一半，或该角与圆之交点的y座标；而双曲正弦则代表单位双曲线上特定双曲角构成之双曲弦长的一半，或该双曲角与单位双曲线之交点的y座标。双曲正弦一般以sinh表示^[1]，在部分较旧的文献中有时会以${\displaystyle {\mathfrak {Sin}}}$表示。^[2]

双曲正弦
性质
奇偶性	奇
定义域	(-∞,∞)
到达域	(-∞,∞)
特定值
当x=0	0
当x=+∞	+∞
当x=-∞	-∞
最大值	+∞
最小值	-∞
其他性质
渐近线	N/A
根	0
临界点	N/A
拐点	0

定义

双曲正弦一般计为${\displaystyle \sinh }$^[3]（有时会简写为${\displaystyle \operatorname {sh} }$^[4]），其在复变分析中定义为:^[5]

${\displaystyle \sinh :z\mapsto {\frac {\mathrm {e} ^{z}-\mathrm {e} ^{-z}}{2}}}$

其中${\displaystyle z\mapsto \mathrm {e} ^{z}}$是复变指数函数（日语：複素指数函数）。

复数域双曲正弦的色相环复变函数图形

也就是说，双曲正弦等同于指数函数与其倒数之差的一半^[6]。双曲正弦也可以视为自然指数函数的奇函数部分（英语：Even–odd decomposition#Even–odd decomposition）^[7]

在双曲几何中，双曲正弦函数类似于欧几里得几何中的正弦函数。^[8]

性质

一般性质

• 双曲正弦在实数中是一个连续函数，在复数中是一个全纯函数，因此在整个复数域中双曲正弦处处可微，其导函数为双曲余弦函数。^[9]
• 双曲正弦是一个奇函数。^[10]
• 在实数域中，双曲正弦是一个严格递增函数。其中在区间${\displaystyle \left[-\infty ,0\right]}$上是凹函数、在区间${\displaystyle \left[0,+\infty \right]}$上是凸函数。^[9]

三角学性质

根据双曲正弦与双曲余弦的指数定义，可以推得：^[8][11]

${\displaystyle \mathrm {e} ^{z}=\cosh z+\sinh z}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-z}=\cosh z-\sinh z}$

其与经典的欧拉公式类似。

当${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$时，有以下恒等式:^[8][12]

${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2}}=\mathrm {i} \sin(x)}$

${\displaystyle \sinh(x)=-\mathrm {i} \sin(\mathrm {i} x)}$^[8]

${\displaystyle \sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)}$

${\displaystyle \sinh x=2\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)}$

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }{\cosh \left(x/2^{n}\right)}}$

${\displaystyle \sinh ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh(x)-1}{2}}}$

特殊值

双曲正弦存在一些特殊值^[5]：

• ${\displaystyle \sinh(0)=0}$
• ${\displaystyle \sinh(1)={\frac {\mathrm {e} ^{2}-1}{2\mathrm {e} }}}$
• ${\displaystyle \sinh(\mathrm {i} )=\mathrm {i} \sin(1)}$
• ${\displaystyle \sinh(\ln \varphi )={\frac {1}{2}}}$

其中${\displaystyle \varphi }$为黄金比例

参见

• 正弦