反余弦

反余弦（arccosine, ${\displaystyle \arccos }$, ${\displaystyle \cos ^{-1}}$）是一种反三角函数，也是高等数学中的一种基本特殊函数。在三角学中，反余弦被定义为一个角度，也就是余弦值的反函数，然而余弦函数是双射且不可逆的而不是一个对射函数（即多个值可能只得到一个值，例如1和所有同界角），故无法有反函数，但我们可以限制其定义域，因此，反余弦是单射和满射也是可逆的，另外，我们也需要限制值域，且限制值域时，不能和反正弦定义相同的区间，因为这样会变成一对多，而不构成函数，所以我们将反余弦函数的值域定义在${\displaystyle \left[0,\pi \right]}$（[0,180°]）。另外，在原始的定义中，若输入值不在区间${\displaystyle [-1,1]}$，是没有意义的，但是三角函数扩充到复数之后，若输入值不在区间${\displaystyle [-1,1]}$，将传回复数。

反余弦
性质
奇偶性	非奇非偶函数
定义域	[-1, 1]
到达域	${\displaystyle [0,\pi ]}$ （[0,180°]）
周期	N/A
特定值
当x=0	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ （90°）
当x=+∞	N/A
当x=-∞	N/A
最大值	${\displaystyle \pi }$ （180°）
最小值	${\displaystyle 0}$
其他性质
渐近线	N/A
根	1
拐点	${\displaystyle \left(0,{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}$
不动点	y轴为弧度时： 0.7390851332152... （42.3464588340929...°） y轴为角度时： 0.999847741531088...° （0.0174506351083467...）
k是一个整数。

命名

反余弦的数学符号是${\displaystyle \arccos }$，最常被记为${\displaystyle \cos ^{-1}}$。在不同的编程语言和有些计算器则使用acos或acs。

定义

原始的定义是将余弦函数限制在${\displaystyle [0,\pi ]}$（[0,180°]）的反函数
在复变分析中，反余弦是这样定义的:

${\displaystyle \arccos x=-{\mathrm {i} }\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$

这个动作使反余弦被推广到复数。

拓展到复数的反余弦函数

性质

反余弦函数是一个定义在区间${\displaystyle \left[-1,1\right]}$的严格递减连续函数。

${\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,\pi \right]}$

（${\displaystyle \arccos :\left[-1,1\right]\rightarrow \left[0,180^{\circ }\right]}$）

其图形是对称的，即对称于点${\displaystyle \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$，或表示为${\displaystyle \left(0,90^{\circ }\right)}$，所以满足${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)=180^{\circ }-\arccos \left(-x\right)}$
反余弦函数的导数是：
${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$.
反余弦函数的泰勒级数是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(x+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots )\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}};\qquad |x|\leq 1\end{aligned}}}$

基于上述级数在${\displaystyle |x|}$接近1时收敛速度十分缓慢，在${\displaystyle x=-1}$求得的泰勒级数是：

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos x&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\left(1+\left({\frac {1}{4}}\right){\frac {x+1}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{4\cdot 8}}\right){\frac {(x+1)^{2}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{4\cdot 8\cdot 12}}\right){\frac {(x+1)^{3}}{7}}+\cdots \right)\\&{}=\pi -{\sqrt {2(x+1)}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{3n}(n!)^{2}}}\right){\frac {(x+1)^{n}}{(2n+1)}}\end{aligned}}}$

由于先前描述的对称关系${\displaystyle \arccos x=\pi -\arccos \left(-x\right)}$，可由上式计算${\displaystyle |x|}$接近1时的反余弦值。

也可以用反余弦和差公式将两个余弦值合并成一个余弦值:

${\displaystyle \arccos x_{1}+\arccos x_{2}={\begin{cases}\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}\geq 0\\2\pi -\arccos \left(x_{1}x_{2}-{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}+x_{2}<0\end{cases}}}$

${\displaystyle \arccos x_{1}-\arccos x_{2}={\begin{cases}-\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}\geq x_{2}\\\arccos \left(x_{1}x_{2}+{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}\right)&x_{1}<x_{2}\end{cases}}}$.

应用

直角三角形的辐角为其邻边和斜边之间的比率的反余弦值。

参见

• 余弦
• 反正弦