向心加速度

在物理学中，向心加速度（Centripetal Acceleration）是一种物理量，是用来描述一个圆周运动物体能绕着圆形轨道旋转而不会脱离圆周运动所需的加速度。通常用${\displaystyle a_{c}}$（拉丁字母小写a下标一个c）来表示向心加速度。

圆周运动，蓝色的是向心加速度

一个作等速率圆周运动的质点虽然在圆周上每个位置的速率皆相同，但其运动方向都是沿着各自的切线方向而有所不同（即切向速度不相同），因此存在一个加速度使其可以改变其速度而维持在原来的圆周运动不至于会脱离原来运动轨迹，而这加速度称作向心加速度。^[1]

向心加速度的大小一般由向心力决定，但有时会因为有角加速度而有所不同。

另外，向心加速度不一定只存在于圆周运动，只要该加速度可以使曲线运动物体维持当前曲线并持续运动就可称为向心加速度。尤其是简谐运动。

一个单摆运动，红色的是加速度	一个曲线运动，标示ac的是向心加速度

与其他物理量之关系

在向心加速度中，与其它圆周运动相关的物理量有着密切的相关。在圆周运动中，向心加速度存在下面等式:

${\displaystyle a_{c}=r\omega ^{2}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}={\frac {4\pi ^{2}r}{T^{2}}}={\frac {2\pi v}{T}}}$

其中:

• ${\displaystyle a_{c}}$是向心加速度
• ${\displaystyle r}$是圆周运动的半径
• ${\displaystyle \omega }$是角速度
• ${\displaystyle v}$是切向速度
• ${\displaystyle T}$是周期
• ${\displaystyle \pi }$是圆周率

推导过程

由加速度的定义式可知${\displaystyle a={\frac {\Delta v}{t}}}$

在圆周运动的轨迹上取两点A和B，过A、B两点做关于圆的切线可得知其运动方向，分别作出两个点的速度向量${\displaystyle {\overrightarrow {v_{1}}}}$、${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}}$，可知${\displaystyle {\overrightarrow {v_{1}}}\perp OA}$、${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}\perp OB}$

将${\displaystyle {\overrightarrow {v_{1}}}}$与${\displaystyle {\overrightarrow {v_{2}}}}$连接，形成向量三角形${\displaystyle A^{'}B^{'}D}$，由前述的垂直关系可得出${\displaystyle \vartriangle A^{'}B^{'}D\sim \vartriangle OAB}$，进而得出 ${\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}={\frac {\overline {AB}}{r}}}$

${\displaystyle \Delta v={\frac {\overline {AB}}{r}}\cdot v}$

${\displaystyle a_{c}={\frac {{\overline {AB}}\cdot v}{r\cdot t}}}$

在两向量之间的距离趋近于0时，${\displaystyle {\overline {AB}}={\overset {\frown }{AB}}}$

所以${\displaystyle {\frac {\overline {AB}}{t}}=v}$（线速度）

${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}}$

由角速度定义式${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$可得${\displaystyle a_{c}=\omega ^{2}\cdot {r}}$

参见

• 向心力