吠陀方形

吠陀方形（Vedic square）属于古印度数学，是9 × 9 乘法表的变形，每个数字都用乘积的数根来代替。换句话说，与乘积除以9以后的余数的概念接近，若是该乘积为9的倍数，其数根为9不为0。 吠陀方形中有许多几何模式及对称特性，其中有些模式会出现在传统的伊斯兰艺术^[1]。

标示吠陀方形中特定数字的位置，可以看出有某种轴对称

${\displaystyle \circ }$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

代数性质

吠陀方形可以视为是幺半群${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$的乘法表，其中${\displaystyle \mathbb {Z} /9\mathbb {Z} }$是整数除以9后所可能的余数（算子${\displaystyle \circ }$是指幺半群元素之间的抽象乘法）

若${\displaystyle a,b}$是${\displaystyle ((\mathbb {Z} /9\mathbb {Z} )^{\times },\{1,\circ \})}$ 的元素，则${\displaystyle a\circ b}$可以定义为${\displaystyle (a\times b)\mod {9}}$，其中元素9表示其除以9以后余数为0，而不用传统的0来表示。

这个幺半群不是数学上的群，因为不是每一个非零元素都有对应的逆元素，例如${\displaystyle 6\circ 3=9}$，但不存在${\displaystyle a\in \{1,\cdots ,9\}}$使得${\displaystyle 9\circ a=6.}$。

子集的性质

子集${\displaystyle \{1,2,4,5,7,8\}}$形成循环群。每一行及每一列都恰好有六个相异的数字，因此这个子集也是拉丁方阵。

${\displaystyle \circ }$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

三维的吠陀立方

吠陀立方定义为三维乘法表中，用每个乘积的数根来代替乘积^[2][3]。

相关条目

• 拉丁方阵
• 模运算
• 幺半群