哈代-李特尔伍德第一猜想

在数论中，哈代-李特尔伍德第一猜想（first Hardy–Littlewood conjecture）^[1]指的是对小于给定数的质数k元组（英语：Prime_k-tuple）的非病态公式，这猜想是对质数定理的推广。这猜想最初由G·H·哈代和约翰·恩瑟·李特尔伍德在1923年提出。^[2]

First Hardy–Littlewood conjecture

小于给定的${\displaystyle n}$的孪生质数的数量的图。哈代-李特尔伍德第一猜想预测说会有无限多对这样的数。
领域	数论
猜想提出者	G·H·哈代 约翰·恩瑟·李特尔伍德
猜想提出年	1923
开放问题	是

陈述

设${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$为一组使得${\displaystyle P=(p,p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k})}$不对任何质数构成一个完全剩余系的正整数，并以${\displaystyle \pi _{P}(n)}$表示不大于${\displaystyle n}$并使得${\displaystyle p+m_{1},p+m_{2},\ldots ,p+m_{k}}$皆为质数的质数${\displaystyle p}$的数量，那么有：^[1][3]

${\displaystyle \pi _{P}(n)\sim C_{P}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{k+1}t}},}$

其中

${\displaystyle C_{P}=2^{k}\prod _{q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}{\frac {1-{\frac {w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}{q}}}{\left(1-{\frac {1}{q}}\right)^{k+1}}}}$

是奇质数的乘积，且此处${\displaystyle w(q;m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k})}$表示${\displaystyle 0,m_{1},m_{2},\ldots ,m_{k}}$除以${\displaystyle q}$后，其中不同的余数的个数。

${\displaystyle k=1}$且${\displaystyle m_{1}=2}$的情况和孪生质数猜想相关，特别地，若以${\displaystyle \pi _{2}(n)}$表示不大于${\displaystyle n}$的孪生质数个数，那么有

${\displaystyle \pi _{2}(n)\sim C_{2}\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log ^{2}t}},}$

其中

${\displaystyle C_{2}=2\prod _{\textstyle {q{\text{ prime,}} \atop q\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(q-1)^{2}}}\right)\approx 1.320323632\ldots }$

是孪生质数常数。^[3]

斯奎斯数

主条目：质数k元组 § 斯奎斯数

质数k元组的斯奎斯数，是根据哈代-李特尔伍德第一猜想，在质数k元组上对斯奎斯数的定义的推广。质数k元组${\displaystyle P}$的斯奎斯数的定义是最小的违反哈代-李特尔伍德的质数${\displaystyle p}$，也就是最小的使得下式成立的质数：^[3]

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

结果

目前已证明说，哈代-李特尔伍德第一猜想和哈代-李特尔伍德第二猜想彼此不相容。^[4]

推广

Bateman–Horn猜想（英语：Bateman–Horn conjecture）是哈代-李特尔伍德第一猜想在次数大于一的多项式上的推广。^[1]