哈尔测度

数学分析中，哈尔测度是赋予局域紧群（英语：Locally compact group）之子集一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。

这个测度由匈牙利数学家哈尔·阿尔弗雷德于1933年发明^[1] 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。

预备知识

对于一个局域紧豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为博雷尔代数，博雷尔代数的元素即为博雷尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左陪集和右陪集：

• 左陪集:

${\displaystyle gS=\{g.s\,:\,s\in S\}}$

• 右陪集:

${\displaystyle Sg=\{s.g\,:\,s\in S\}}$

博雷尔集的左/右陪集是博雷尔集。

对于一个作用于G的博雷尔子集上的测度μ，如果其对所有的博雷尔子集S和所有的g都满足

${\displaystyle \mu (gS)=\mu (S).\quad }$

则称这个测度μ是左不变的。相应可以定义右不变性。

哈尔定理

考虑G的博雷尔子集上的满足如下性质的可数可加测度μ：

• 对任意的g和博雷尔子集E，μ是左变换不变的:

${\displaystyle \mu (gE)=\mu (E)}$

• 对所有的紧集K，μ是有限的:

${\displaystyle \mu (K)<\infty }$

• 在博雷尔集E上μ是外正则(outer regular)的:

${\displaystyle \mu (E)=\inf\{\mu (U):E\subseteq U,U{\text{ open and Borel}}\}}$

• 在开集E上μ是内正则(inner regular)的:

${\displaystyle \mu (E)=\sup\{\mu (K):K\subseteq E,K{\text{ compact}}\}}$

那么如果要求这个测度是非平凡的，那么它是唯一的——至多相差一个正因子。这个测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的，如果G是紧的，那么μ(G)将是有限正值，进而总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1来唯一确定一个G上的左哈尔测度。

左哈尔测度对于所有的σ-有限博雷尔集都满足内正则条件，但此条件却未必对所有博雷尔集成立。

左哈尔测度的存在性和唯一性（相差一个因子的意义下）的首个完整证明是由André Weil^[2]给出。Weil的证明采用了选择公理，之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。^[3]对于第二可数空间局部紧群的不变测度也于1933年被Haar证明。^[1]

右哈尔测度

同样可以证明存在一个唯一（相差一个正因子的意义下）的右变换不变的博雷尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限，但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。

对一博雷尔集 S, 记其中每一个元素的逆的集合为${\displaystyle S^{-1}}$，如果定义

${\displaystyle \mu _{-1}(S)=\mu (S^{-1})\quad }$

那么这个${\displaystyle \mu _{-1}}$便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下：

${\displaystyle \mu _{-1}(Sg)=\mu ((Sg)^{-1})=\mu (g^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\mu _{-1}(S).\quad }$

又因为右测度是唯一的，因此对于所有博雷尔集合S，μ_-1和ν相差一个正因子k，满足：

${\displaystyle \mu (S^{-1})=k\nu (S)\,}$

哈尔积分

用通常的勒贝格积分理论，便可定义所有在G上博雷尔可测的函数f的积分。这个积分便是哈尔积分。

设μ是一个左哈尔测度，那么对任一哈尔可积函数f与G中元素s，都有

${\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x).}$