哈沙德数

哈沙德数（Harshad number）是可以在某个固定的进位制中，被各位数字之和（数字和）整除的整数。

哈沙德数又称尼文数，是因为伊万·尼文在1997年一个有关数论的会议发表的论文。

若一个数无论在任何进位制中都是哈沙德数，称为全哈沙德数（全尼文数）。只有四个全哈沙德数：1、2、4、6。（12在除八进制以外的进制中均为哈沙德数）

所有在零和进位制的底数之间的数都是哈沙德数。

除非是个位数，否则质数不是哈沙德数。

在十进制中，100以内的哈沙德数包括1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、18、20、21、24、27、30、36、40、42、45、48、50、54、60、63、70、72、80、81、84、90、100。^[1]

连续数个整数均为哈沙德数

Cooper和Kennedy在1993年证明了十进制里没有21个连续整数均是哈沙德数。^[2][3]他们亦找到了最小20个连续整数都是哈沙德数的数列，它们大于10^44363342786。

1994年，H.G. Grundman 扩展了Cooper和Kennedy的结果，表明n进制中有无限多组连续2n个整数为哈沙德数，但并无连续2n+1个整数为哈沙德数^[3][4]。1996年T. Cai 证明了以下的事实：在二进制存在无限多组连续四个整数为哈沙德数；在三进制存在无限多组六个整数为哈沙德数。^[3]

密度

设N(x)为小于或等于x哈沙德数的数目，对于任何给定的 ε > 0 ，Jean-Marie De Koninck和Nicolas Doyon发现：

${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$

De Koninck、Doyon和Katai证明：

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}}$

当 c = 14/27 log 10 ≈ 1.1939 。

其他进制的哈沙德数

12进制:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 10, 1A, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, A0, A1, B0, 100, 10A, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1A0, 1B0, 1BA, 200,...