内乘

本文介绍外代数中的运算。关于其他常称作内积的相关二元运算，参见内积。

在数学中，内乘（英语：interior product，或译内积）是光滑流形上的微分形式外代数上一个次数为 −1 导子，定义为微分形式与一个向量场的缩并。从而如果 X 是流形 M 上一个向量场，那么

${\displaystyle \iota _{X}\colon \Omega ^{p}(M)\to \Omega ^{p-1}(M)}$

是将一个 p-形式 ω 映为 (p−1)-形式 i_Xω，由性质

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{p-1})}$

所定义，对任何向量场 X₁,..., X_p−1。本质上来说，内乘可以定义在向量空间与外代数上，即只与流形的一点有关。

内乘也称为内乘法（interior 或 inner multiplication），或内导数（inner derivative 或 derivation）。

一些作者使用字母 ${\displaystyle i}$ 代替 ${\displaystyle \iota }$；内乘有时也写成 ${\displaystyle \iota (X)}$ 或者 ${\displaystyle X\lrcorner \omega =\iota _{X}\omega }$。

性质

由反对称性

${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}\omega =-\iota _{Y}\iota _{X}\omega }$

所以 ${\displaystyle \iota _{X}^{2}=0}$。

因为李导数与缩并可以交换，故：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )=\iota _{[X,Y]}\omega +\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ ,}$

这便得出两个向量李括号的内乘公式：

${\displaystyle \iota _{[X,Y]}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(\iota _{Y}\omega )-\iota _{Y}({\mathcal {L}}_{X}\omega )\ .}$

内乘与微分形式的外导数以及李导数的关系由嘉当恒等式给出：

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (\iota _{X}\omega )+\iota _{X}\mathrm {d} \omega \ .}$

这个等式在辛几何中非常重要：参见矩映射。

另见

• 张量缩并