微分形式

此条目介绍的是数学概念。关于物理方程的“微分形式”与“积分形式”，请见“微分方程”和“积分方程”。

微分形式（英语：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。

例如，一元微积分中的表达式 ${\displaystyle f(x)\ dx}$ 是1-形式的一个例子，并且可以在 ${\displaystyle f}$ 定义域内的一个区间 ${\displaystyle [a,b]}$ 上进行积分：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

类似地，表达式 ${\displaystyle f(x,y,z)\ dx\land dy+g(x,y,z)\ dz\land dx+h(x,y,z)\ dy\land dz}$ 是2-形式的一种，它在可定向曲面 ${\displaystyle S}$ 上有曲面积分:

${\displaystyle \int _{S}f(x,y,z)\,dx\wedge dy+g(x,y,z)\,dz\wedge dx+h(x,y,z)\,dy\wedge dz.}$

符号∧表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式 ${\displaystyle f(x,y,z)\ dx\land dy\land dz}$ 表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，${\displaystyle k}$-形式是一个可以在 ${\displaystyle k}$-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是 ${\displaystyle k}$ 次齐次的。

简介

我们从Rⁿ中的开集的情形开始。一个0-形式（0-form）定义为一个光滑函数 ${\displaystyle f}$。 当我们在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 的 ${\displaystyle m}$-维子空间 ${\displaystyle S}$ 上对函数 ${\displaystyle f}$ 积分时，我们将积分写作：

${\displaystyle \int _{S}f\,dx_{1}\ldots dx_{m}.}$

把 ${\displaystyle dx_{1},\cdots ,dx_{n}}$ 当作形式化的对象，而非让积分看起来像个黎曼和的标记。我们把这些和他们的负${\displaystyle -dx_{1},\cdots ,-dx_{n}}$叫做基本1-形式。

我们再在其上定义一种乘法规则楔积，这种乘法只需满足反交换的条件： 对所有 ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}$

注意这意味着

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{i}=0}$.

我们把这些乘积的集合叫做基本2-形式，类似的我们定义乘积

${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}\wedge dx_{k}}$

的集合为基本'3-形式，这里假定n至少为3。现在定义一个单项式' ${\displaystyle k}$-形式为一个0-形式乘以一个基本的 ${\displaystyle k}$-形式，定义 ${\displaystyle k}$-形式为一些单项式 ${\displaystyle k}$-形式的和。

楔积可以推广到这些和上：

${\displaystyle (f\,dx_{I}+g\,dx_{J})\wedge (p\,dx_{K}+q\,dx_{L})=}$

${\displaystyle f\cdot p\,dx_{I}\wedge dx_{K}+f\cdot q\,dx_{I}\wedge dx_{L}+g\cdot p\,dx_{J}\wedge dx_{K}+g\cdot q\,dx_{J}\wedge dx_{L},}$

等等，这里 ${\displaystyle dx_{i}}$ 和类似的项表示 ${\displaystyle k}$-形式。换句话说，和的积就是所有可能的积的和。

现在，我们来定义光滑流形上的 ${\displaystyle k}$-形式。为此，我们假设有一个开坐标覆盖。我们可以在每个坐标邻域上定义一个 ${\displaystyle k}$-形式；一个全局的 ${\displaystyle k}$-形式就是一组坐标领域上的 ${\displaystyle k}$-形式，他们在坐标邻域的交集上一致。这种一致的精确定义，见流形。

楔积的性质

若 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle w}$ 为任意微分形式，则

${\displaystyle w\wedge (f+g)=w\wedge f+w\wedge g.}$

若 ${\displaystyle f}$ 为 ${\displaystyle k}$-形式，${\displaystyle g}$ 为 ${\displaystyle l}$-形式：

${\displaystyle f\wedge g=(-1)^{kl}g\wedge f.}$

抽象（简明）定义及讨论

在微分几何中，${\displaystyle k}$ 阶微分 ${\displaystyle k}$-形式是一个流形的余切丛的 ${\displaystyle k}$ 阶外幂（exterior power）的光滑截面。在流形的每一点 ${\displaystyle p}$，一个 ${\displaystyle k}$-形式给出一个从切空间的 ${\displaystyle k}$ 阶笛卡儿幂（cartesian power）到 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的多线性映射。

例如，光滑函数（0-形式）的微分就是一个1-形式。

1-形式在张量的坐标无关表示中是一个很有用的基本概念。在这个上下文中，他们可以定义为向量的实值函数，并可以看成他们所对应的向量空间的对偶空间。1-形式的一个旧称就是"协变向量"。

微分形式的积分

k阶微分形式可以在 ${\displaystyle k}$维链（chain）上积分。若${\displaystyle k=0}$，这就是函数在点上的取值。其他的 ${\displaystyle k=1,2,3,\cdots }$对应于线积分，曲面积分，体积分等等。

设

${\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}}$

为一微分形式，设 ${\displaystyle S}$ 为一个我们想在其上积分的集合，其中 ${\displaystyle S}$ 有参数化形式

${\displaystyle S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\cdots ,x_{n}({\mathbf {u} }))}$

${\displaystyle \mathbf {u} }$ 属于参数域 ${\displaystyle D}$。则[Rudin, 1976]定义 ${\displaystyle S}$ 上微分形式的积分为

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}\,d{\mathbf {u} }}$

其中

${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}}$

是雅可比矩阵的行列式。

参见斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。

微分形式的操作

一个流形上所有k-形式的集合是一个向量空间。而且，其上有三类操作：楔积, 外微分（用d表示），和李导数。${\displaystyle d^{2}=0}$，细节请见德拉姆上同调。

外导数和积分的基本关系由推广的斯托克斯定理给出，它也同时给出了德拉姆上同调和链的同调的对偶性。

参考

• Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill, Inc. 1976. ISBN 0-07-054235.
• Michael Spivak. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, Inc.; Menlo Park CA. 1965. ISBN 66-10910.