在狭义相对论的惯性坐标系中，四维加速度 $\mathbf {A}$ 定义为四维速度 $\mathbf {U}$ 对一移动物体之固有时 $\tau$ 的微分，也就是说

\mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}c,\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}{\dot {\gamma }}_{u}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{2}\mathbf {a} +\gamma _{u}^{4}{\frac {\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} \right)}{c^{2}}}\mathbf {u} \right)=\left(\gamma _{u}^{4}{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} }{c}},\gamma _{u}^{4}\left(\mathbf {a} +{\frac {\mathbf {u} \times \left(\mathbf {u} \times \mathbf {a} \right)}{c^{2}}}\right)\right)

其中

\mathbf {a} ={d\mathbf {u}  \over dt}

，应用到三维加速度

\mathbf {a}

与三维速度

\mathbf {u}

；

以及

{\dot {\gamma }}_{u}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {\mathbf {a\cdot u} }{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}

应用到速度 $u$ （ $|\mathbf {u} |=u$ ）下的洛伦兹因子 $\gamma _{u}$ 。变数上方的点代表对本参考系坐标时间 $t$ 的微分，而非对物体固有时 $\tau$ 的微分。也就是说 ${\dot {\gamma }}_{u}={d\gamma _{u} \over dt}$ )。