圆内接四边形的日本定理

在几何学中，圆内接四边形的日本定理指出，圆内接四边形内某些三角形的内心形成一个矩形。

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心形成一个矩形。

具体而言，设□ABCD为任意圆内接四边形， M₁, M₂, M₃, M₄分别为三角形△ABD, △ABC, △BCD, △ACD内心，则M₁, M₂, M₃, M₄所构成的四边形为矩形。

证明1

□M₁M₂M₃M₄是矩形。

${\displaystyle \left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|}$

（以下称为${\displaystyle \alpha }$角），因为这两个角都是弦${\displaystyle {\overline {AD}}}$的周角。

因为

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}}$

由此可得，

${\displaystyle \left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}}$

由于这些角相等，${\displaystyle \square AM_{1}M_{4}D}$是一个圆内接四边形。

根据圆内接四边形的性质，现在有${\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|}$

同样地，对于${\displaystyle \square DCM_{4}M_{3}}$也成立：

${\displaystyle \left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|}$

角度相加，得到以下结果

${\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}}$

由于

${\displaystyle \sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }}$

所以

${\displaystyle \sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }}$

以上对于点${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}$之间的其他角度也同样成立，它们都是${\displaystyle 90^{\circ }}$。

因此，${\displaystyle \square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}$是一个矩形。证毕。^[1]

证明2

根据Thébault定理(3)有如下结论^[2]：

定理 — 

Thébault定理(3)

给定任意三角形${\displaystyle ABC}$，${\displaystyle BC}$上任意一点${\displaystyle M}$。作两个圆，均与${\displaystyle AM}$、${\displaystyle BC}$、外接圆相切。该两圆的圆心${\displaystyle P}$、${\displaystyle Q}$和三角形内心${\displaystyle I}$三点共线共线，且

${\displaystyle {\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

其中${\displaystyle \theta =\angle AMB}$.

下面开始处理原题。

先标记题目中四个三角形的内心是${\displaystyle I_{a}}$、${\displaystyle I_{b}}$、${\displaystyle I_{c}}$、${\displaystyle I_{d}}$.

假设对角线 AC 和 BD 交于 E.

与线段 AE、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为${\displaystyle O_{cd}}$，

类似地，与线段 BE、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为${\displaystyle O_{da}}$、与线段 CE、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为${\displaystyle O_{ab}}$、与线段 DE、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为${\displaystyle O_{bc}}$.

设 AE、BE 的夹角是${\displaystyle \theta }$，根据上面的Thébault定理(3)有如下结论：

${\displaystyle O_{da}}$、${\displaystyle I_{d}}$、${\displaystyle O_{cd}}$三点共线，且

${\displaystyle {\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

同理，${\displaystyle O_{ab}}$、${\displaystyle I_{a}}$、${\displaystyle O_{da}}$三点共线，且

${\displaystyle {\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$

所以，

${\displaystyle I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}}$

由于 ${\displaystyle O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}}$ (因为它们沿着角 ${\displaystyle E}$ 的角平分线)，所以 ${\displaystyle I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}}$，所以 ${\displaystyle I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}}$ 是矩形。证毕。

推广

过${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}$作四边形的对角线的平行线，形成一个平行四边形，由作图可知平行四边形为菱形，于是“与各对角线相切的内切圆半径之和相等”。

该定理可推广到圆内接多边形的日本定理。

证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

又见

• 卡诺定理
• 算额
• 日本数学