圆内接四边形

在几何中，圆内接四边形（英文：Cyclic quadrilateral）是四边形的一种。顾名思义，圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆上。

圆内接四边形

四种圆内接四边形的例子：依次是正方形、长方形、等腰梯形、一般圆内接四边形

性质

在一个圆内接四边形中，相对的两内角是互补的，它们度数之和为180度^[1]。与此等价的说法是，圆内接四边形的一个内角等于其相对面的角的外角。一个四边形为圆内接四边形的充分必要条件是其相对的两内角互补，即，圆内接四边形相对的两内角互补，且相对的两内角互补的四边形是圆内接四边形（四边形四顶点共圆或说有四边形有外接圆）。

如图，ABCD为圆内接四边形，托勒密定理指出：${\displaystyle {\begin{matrix}BD\cdot AC\\=AB\cdot CD+BC\cdot DA.\end{matrix}}}$

托勒密定理指出，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积（如右图）。对于非退化的四边形，如果两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积，那么必定是圆内接四边形^[2]。

凸四边形的两条对角线将自身份成四个三角形。如果这个四边形是圆内接四边形，那么相对的两个三角形是相似的。如右图中，${\displaystyle P}$是圆内接四边形${\displaystyle ABCD}$的两对角线交点，则${\displaystyle \bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCP}$，${\displaystyle \bigtriangleup BCP\sim \bigtriangleup ADP}$。一个与此等价的说法是所谓的相交弦定理：设凸的圆内接四边形的两条对角线相交于一点(图中的${\displaystyle P}$），那么其中一条对角线被点${\displaystyle P}$所分成的两段的长度之乘积等于另一条对角线被点${\displaystyle P}$所分成的两段的长度之乘积：${\displaystyle AP\times CP=BP\times DP}$。相应的逆命题也成立：如果一个四边形ABCD的两条对角线交于点${\displaystyle P}$，且${\displaystyle \bigtriangleup ABP\sim \bigtriangleup DCP}$（或${\displaystyle \bigtriangleup BCP\sim \bigtriangleup ADP}$，或${\displaystyle AP\times CP=BP\times DP}$），那么四边形${\displaystyle ABCD}$是圆内接四边形。

与其它四边形的关系

在四边形中，矩形、正方形都是圆内接四边形，筝形和梯形可能是圆内接四边形。圆内接四边形的对偶多边形是圆外切四边形。

• 如果一个四边形既是菱形又是圆内接四边形，那么它是一个正方形。
• 如果一个四边形既是平行四边形又是圆内接四边形，那么它是一个矩形。
• 如果一个四边形既是梯形又是圆内接四边形，那么它是一个等腰梯形。
• 如果一个四边形既是筝形又是圆内接四边形，那么它是一个直角筝形。
• 如果一个四边形既是正交四边形又是圆内接四边形，那么它是一个婆罗摩笈多四边形。
• 如果一个四边形既是等对角线四边形又是圆内接四边形，那么它是一个等腰梯形或矩形。
• 如果一个四边形既是圆外切四边形又是圆内接四边形，那么它是一个双心四边形。

面积

在已知四边的边长时，圆内接四边形的面积可通过婆罗摩笈多公式给出^[3]。若圆内接四边形的四边边长分别是${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$，则其面积为：

${\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

其中${\displaystyle p}$为半周长：

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

可以证明，在所有周长为定值${\displaystyle 2p}$的圆内接四边形中，面积最大的是正方形。

参见

• 圆内接多边形
• 婆罗摩笈多公式
• 婆罗摩笈多定理：关于对角线相互垂直的圆内接四边形的一个定理。
• 外接圆