基本单位 (数论)

在代数数论，基本单位，是数域中代数整数环的生成元（即模单位根），可理解为单位群模其扭子群是个无限循环群。狄利克雷单位定理表明：rank=1的有实二次域，复三次域，完全四元数域。

随时代发展，当对rank ≥1*基本单位也被有些作者叫基本单位系，rank=1时的才基本单位，这只是基本单位系的一个系元.^[1]

实二次域

实二次域${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$（d无平方因子），如果Δ表示代数数域K的判别式，则基本单位是：

${\displaystyle \epsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$

其中 (a, b) 是下面佩尔方程的最小正整数解^[2]

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$

上面的佩尔方程可通过${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$的连分数展开获得。这个不定方程现在得出一些结论：

• ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$连分数展开是奇周期的。
• 有概率表明Δ如果能整除一个3mod4的同余的素数，那么K有范为-1的单位概率较大。如d=34就为反例，1990年，Peter Stevenhagen 提出个概率模型，专找反例。特别的，当 Δ < X ，对如果能整除一个3mod4的同余的素数的D(X)，其共轭D⁻(X)有范为-1的单位概率为^[3]：

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(x)}{D(x)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$。

也就是这种特例下有42%反例，至2012年3月，最近对这个猜想的结果^[4] 为可有33％~59％的反例。

三次域

如果“K”是只有一个实嵌入的复三次域，且在嵌入中基本单位ε赋值满足|ε| > 1 ，判别式赋值|Δ| ≥ 33，^[5] 则：

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$

例：${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$基本单位的${\displaystyle 1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}}}$ 的三次方≈ 56.9, ，判别式= −108 则：

${\displaystyle {\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25.}$