点P被包围在闭合曲面
内。
根据格林第二恒等式,假若在体积
内,函数
和
都是二次连续可微,则
;
其中,闭合曲面
是体积
的表面,
是从闭合曲面
向外指出的微小面元素矢量。
这方程的左手边是积分于体积
,右手边是积分于这体积的闭合曲面
。
设定函数
满足单色波的亥姆霍兹波动方程:
。
设定
为一种格林函数,是可以描述传播于自由空间、满足数值在无穷远为零的边界条件的圆球面出射波:
;
其中,
。
这函数
满足关系式
;
其中,
是三维狄拉克δ函数。
将
、
的满足式代入,则格林第二恒等式变为
。
为了标记原因,对换无单撇号与有单撇号的变量。这样,
标记检验位置,
标记源位置:
。
假若波扰
的位置在体积
内,即点P被包围在闭合曲面
内,则
写为
。
闭合曲面
是由闭合曲面
与闭合曲面
共同组成。点P处于曲面
之内,曲面
之外。
上述公式应用于点P被包围在闭合曲面内的物理案例,即从位于闭合曲面的次波源所发射出的次波,在闭合曲面内的点P所产生的波扰。大多数衍射案例计算,从延伸尺寸波源发射出的波,其波前所形成的闭合曲面,在闭合曲面的所有次波源,所发射出的次波,在闭合曲面外的点P所产生的波扰;对于这些案例,点P在闭合曲面之外,延伸波源在闭合曲面之内。这公式也可以推导为点P在闭合曲面外,波源在闭合曲面之内的物理案例。如右图所示,假设闭合曲面
是由闭合曲面
与闭合曲面
共同组成,曲面
被包围在曲面
的内部。点P处于曲面
之内,曲面
之外。
让曲面
的半径趋于无穷大,则对于曲面
的任意点Q,
、
,被积函数趋向于零,快过
平方反比的趋向于零,满足“索莫菲辐射条件”(Sommerfeld radiation condition),因此在曲面
的总贡献为零。[2]所以,在点P的波扰为
。
注意到微小面元素矢量
的方向是从曲面
向内指入。现在,将微小面元素矢量
的方向改为与原本方向相反:
,即从闭合曲面
向外指出,则可得到基尔霍夫积分定理的表达式:
。
假设
是与
同方向的单位矢量,是垂直于闭合曲面
的法矢量。那么,法向导数与梯度的关系为
。
所以,基尔霍夫积分定理的另一种表达式为
。
总结,只考虑单色波,位于点P的波扰
,可以以位于闭合曲面
的所有波扰
与其梯度
来表达。[2]