基 (拓扑学)

在拓扑学的相关领域中，拓扑基(英语：base 或 basis) 是某种特殊集合族，它们的任意并集构成了一个拓扑空间的开集。基在拓扑学的作用是简化证明，许多拓扑的性质可变换成基的性质，像是拓扑意义下的连续就可以直接对基来做定义。

动机

拓扑基的动机是想定义一群特殊的子集，它们的任意并集都是“开”的；严谨来说，令 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 为集合 ${\displaystyle X}$ 的一个子集族，希望 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内任意一群子集之并集所组成的 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ：

${\displaystyle {\mathcal {U}}:=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}}$

为 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑。

定理 — 
集合 ${\displaystyle X}$ 有子集族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ， 设 ：

${\displaystyle \tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}}$

则“ ${\displaystyle \tau }$ 为 ${\displaystyle X}$ 上的拓扑 ”，等价于以下两条件：

• ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}=X}$
• 对所有 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$ ，${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}}$

证明

以下逐条检验拓扑的定义： (1) 等价于“ ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$”的条件 若 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$ ，则： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\right]}$(a) 考虑到 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ，所以根据有无限并集性质的定理(1)与(2)有 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\subseteq X}$ 但根据无限并集性质的定理(1)，(a)又等价于： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=X\right)\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}\right)\right]}$ 所以有： ${\displaystyle X\subseteq \bigcup {\mathcal {F}}}$ 所以从 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$ 有： ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}=X}$ (a1) 反之若有 (a1)，因为 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ，所以有 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$ 。故在本定理的前提下，(a1)等价于 ${\displaystyle X\in {\mathcal {U}}}$ 。 (2) ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {U}}}$ 首先考虑到 ${\displaystyle \varnothing \subseteq {\mathcal {F}}}$，然后从无限并集性质的定理(0)有 ${\displaystyle \varnothing =\bigcup \varnothing }$，故 ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {U}}}$。 (3) 对任意 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}$ 有 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}}$ 首先，${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}$ 可等价地展开为 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left[({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {B}}=A\right)\right]}$(b) 上式可直观地解释成“ ${\displaystyle A\in {\mathfrak {A}}}$ 都是 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 内某些集合的并集”，既然如此，取一个搜集各种不同 ${\displaystyle A}$ 的子集的集族 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}}$ ： ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}:=\left\{S\,|\,(\exists A)[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)]\right\}}$ 这样根据有限交集的性质，${\displaystyle x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})}$ 等价于 ${\displaystyle (\exists S)\left\{(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}$ 考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，将${\displaystyle (\exists A)}$ 移至最前，再将${\displaystyle (\exists S)}$移入括弧内 ，上式就依据(Equv)而等价于 ${\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (\exists S)\left[(x\in S)\wedge (S\in {\mathcal {F}})\wedge (S\subseteq A)\right]\right\}}$ 也就等价于 ${\displaystyle (\exists A)\left\{(A\in {\mathfrak {A}})\wedge \left(x\in \bigcup [{\mathcal {P}}(A)\cap {\mathcal {F}}]\right)\right\}}$ 根据无限并集性质的定理(4)，从(b)有 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})(\exists {\mathcal {B}})\left\{({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {B}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}\right\}}$ 这样根据无限并集性质的定理(1)又会有 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A\subseteq \bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}$ 考虑到 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq {\mathcal {P}}(A)}$ ，从无限并集性质的定理(1)与定理(2)有 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)\subseteq A}$ 所以最后从(b)有 ${\displaystyle (\forall A\in {\mathfrak {A}})\left\{A=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(A)]\right\}}$ 所以 ${\displaystyle x\in \bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})}$ 最后等价于 ${\displaystyle (\exists A)\left[(A\in {\mathfrak {A}})\wedge (x\in A)\right]}$ 换句话说 ${\displaystyle x\in \bigcup {\mathfrak {A}}}$ 这样考虑到 ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ 就有 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}=\bigcup ({\mathcal {P}}_{\mathfrak {A}}\cap {\mathcal {F}})\in {\mathcal {U}}}$ 所以在本定理的前提下， 对所有 ${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subseteq {\mathcal {U}}}$ 都有 ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {U}}}$ 。 (4)等价于“ ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$ 则 ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$”的条件 若 “对所有的 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$ 有 ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$”(P) 因取任意 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$ 都有： ${\displaystyle B_{1}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle B_{2}=\bigcup \{B_{1}\}\in {\mathcal {U}}}$ 故 ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}}$ ，换句话说从假设(P)可以推出： “对所有 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$ ，${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}\in {\mathcal {U}}}$”(P') 另一方面， ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$ 可等价地展开为： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U\cap V=\bigcup {\mathcal {E}}\right)\right\}}$ 因为 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$ 可等价地展开为： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})\left[\left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}$ ${\displaystyle (\exists {\mathcal {B}})\left[\left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}})\right]}$ 所以在 ${\displaystyle U,\,V\in {\mathcal {U}}}$ 的前提下 ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$ 又可更进一步等价地展开为： ${\displaystyle (\exists {\mathcal {A}})(\exists {\mathcal {B}})(\exists {\mathcal {E}})\left\{({\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}},\,{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(U=\bigcup {\mathcal {A}}\right)\wedge \left(V=\bigcup {\mathcal {B}}\right)\wedge \left[\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)=\bigcup {\mathcal {E}}\right]\right\}}$ 此时考虑到一阶逻辑的定理(Ce)，连续使用两次会有： ${\displaystyle \left[x\in \left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)\right]\Leftrightarrow (\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (x\in A\cap B)]}$ 这样的话，若取一个包含所有 ${\displaystyle A\cap B}$ 的集族： ${\displaystyle {\mathcal {C}}:=\left\{S\in {\mathcal {P}}(X)\,{\big |}\,(\exists A)(\exists B)[(A\in {\mathcal {A}})\wedge (B\in {\mathcal {B}})\wedge (S=A\cap B)]\right\}}$ 这样就有： ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {C}}=\left(\bigcup {\mathcal {A}}\right)\cap \left(\bigcup {\mathcal {B}}\right)}$ 而且考虑到 ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ，所以在(P')的前提下，所有的 ${\displaystyle A\cap B}$ 都在 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ 里，换句话说，${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {U}}}$ ，故从上小结的结果有： ${\displaystyle U\cap V\in {\mathcal {U}}}$ 所以，(P')跟(P)等价。 综合上面的(a1)、(a2)、和(P')，本定理得证。${\displaystyle \Box }$

一般会根据无限并集性质的定理(4)，将第二个条件等价的写为：

“对所有 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$ ， ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}=\bigcup [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]}$”

也就等价于：

“所有的 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$ ，对任意 ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ 都存在 ${\displaystyle C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]}$ 使得 ${\displaystyle x\in C}$”

定义

由上面动机一节的定理，可以作如下的定义：

定义 — 
${\displaystyle {\mathfrak {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 为集合 ${\displaystyle X}$ 的一个子集族，若满足：

• ${\displaystyle \bigcup {\mathfrak {B}}=X}$　（基的元素覆盖${\displaystyle X}$）
• 所有的 ${\displaystyle B_{1},\,B_{2}\in {\mathcal {F}}}$ ，对任意 ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ 都存在 ${\displaystyle C\in [{\mathcal {F}}\cap {\mathcal {P}}(B_{1}\cap B_{2})]}$ 使得 ${\displaystyle x\in C}$

则称 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 为 ${\displaystyle X}$ 的一个拓扑基（Topological Basis）。而：

${\displaystyle \tau :=\left\{U\in {\mathcal {P}}(X)\,{\bigg |}\,(\exists {\mathcal {A}})\left[({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})\wedge \left(\bigcup {\mathcal {A}}=U\right)\right]\right\}}$

则称为由基 ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ 所生成的拓扑。

范例

以所有实数线中的开区间为元素所构成的集合是拓扑基，因为：

• 任意实数 ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ 都包含在某个开区间里，如 ${\displaystyle (r-1,\,r+1)}$ 。故开区间全体“覆盖”了整条实数线。
• 任何两个开区间的交集要么也是开区间要么为空。
• 对任意开区间 ${\displaystyle (a,\,b)}$ 内的实数 ${\displaystyle c\in (a,\,b)}$ ，都有一个比 ${\displaystyle (a,\,b)}$ 更小的开区间也包含 ${\displaystyle c}$ ，如 ${\displaystyle \left({\frac {a+c}{2}},\,{\frac {b+c}{2}}\right)}$ 。

这些性质正好满足拓扑基的定义。

更一般的来说，以度量空间的开球为元素所构成的集合是拓扑基，因为：

• 度量空间的任意点都可作为开球的球心，故开球全体“覆盖”了整个度量空间。
• 取任二开球${\displaystyle B_{r_{a}}(a)}$和${\displaystyle B_{r_{b}}(b)}$，若${\displaystyle x\in B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)}$，且 ${\displaystyle r=\min\{r_{a}-d(x,\,a),\,r_{b}-d(x,\,b)\}}$，则${\displaystyle B_{r}(x)\subseteq B_{r_{a}}(a)\cap B_{r_{b}}(b)}$。

重要性质

定理 — 
${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 是集合 ${\displaystyle X}$ 的拓扑基，则 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 生成的拓扑是包含 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的最粗拓扑

证明

设 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 所生成的拓扑是 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}}$ ；另一方面包含 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 的最粗拓扑为 ${\displaystyle \tau ({\mathcal {B}})}$ 。 根据最粗拓扑的定义有： ${\displaystyle \vdash (\forall S){\big \{}[S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}{\big \}}}$(a) 那以量词公理(A4) 将 ${\displaystyle \forall S}$ 去掉会有： ${\displaystyle \vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}}$ 那再使用量词公理(A4)，配合(D1)会有： ${\displaystyle \vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow \{[(\tau _{B}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq \tau _{B})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})\}}$ 因为 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {B}}}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 所生成的拓扑，配合(D2)有：（${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 为 “${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑基”的正式叙述） ${\displaystyle {\mathcal {P}}\vdash [S\in \tau ({\mathcal {B}})]\Rightarrow (S\in \tau _{B})}$ 另一方面，根据拓扑基的定义有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\exists {\mathcal {C}})\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]}$ 而根据拓扑的定义(关于并集的部分)与演绎定理会有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})],\,\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\vdash (S\in {\mathfrak {T}})}$ 这样根据(GEN)与演绎定理就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\vdash (\exists C)\left[\left(S=\bigcup {\mathcal {C}}\right)\wedge ({\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}})\right]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})}$ 换句话说，从演绎定理与(D1)有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash [({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})}$ 那从普遍化元定理就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash (\forall {\mathfrak {T}})\{[({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {B}}\subseteq {\mathfrak {T}})]\Rightarrow (S\in {\mathfrak {T}})\}}$ 这样从(a)，配合(AND)与(D1)就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}},\,S\in \tau _{B}\vdash S\in \tau ({\mathcal {B}})}$ 这样从(AND)和演绎定理就有： ${\displaystyle {\mathcal {P}}\vdash (S\in \tau _{B})\Leftrightarrow [S\in \tau ({\mathcal {B}})]}$ 套用(GEN)将 ${\displaystyle \forall S}$ 重新加入就会有： ${\displaystyle {\mathcal {P}}\vdash \tau _{B}=\tau ({\mathcal {B}})}$ 故本定理得证。${\displaystyle \Box }$

定理 — 
${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$ 都是集合 ${\displaystyle X}$ 的拓扑基，而 ${\displaystyle \tau _{1}}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1}}$ 生成的拓扑； ${\displaystyle \tau _{2}}$ 为 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{2}}$ 生成的拓扑，则以下两叙述价

• ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$
• ${\displaystyle (\forall B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1})(\exists B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2})(B_{2}\subseteq B_{1})}$

证明

• 如果 B₁,B₂,...,B_n 是拓扑 T₁,T₂,...,T_n 的基，则集合积 B₁ × B₂ × ... × B_n 是乘积拓扑 T₁ × T₂ × ... × T_n 的基。在无限乘积的情况下这仍适用，除了出现有限多个基元素之外全部都必须是整个空间之外。
• 设 B 是 X 的基并设 Y 是 X 的子空间。那么如果我们交 B 的每个元素于 Y，结果的集合的搜集是子空间 Y 的基。

定理 — 
${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$是集合${\displaystyle Y}$ 的拓扑基（其生成的拓扑为${\displaystyle \tau _{Y}}$）； ${\displaystyle (X,\,\tau _{X})}$为一拓扑空间；${\displaystyle f:X\to Y}$为一函数。若对任意${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}_{Y}}$有${\displaystyle f^{-1}(B)\in \tau _{X}}$，则${\displaystyle f}$是${\displaystyle \tau _{X}}$-${\displaystyle \tau _{Y}}$连续。

证明

若${\displaystyle O\in \tau _{Y}}$，根据基的定义，存在${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {B}}}$使得： ${\displaystyle O=\bigcup {\mathcal {F}}}$ 这样的话，若取： ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})=\{A\,|(\exists B\in {\mathcal {F}})(A=f^{-1}(B))\,\}}$ 则有： ${\displaystyle f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})\subseteq \tau _{X}}$ 这样根据拓扑空间的定义就有： ${\displaystyle f^{-1}(O)=\bigcup f^{-1}({\mathcal {F}})\in \tau _{X}}$ 故${\displaystyle f}$是${\displaystyle \tau _{X}}$-${\displaystyle \tau _{Y}}$连续。${\displaystyle \Box }$

• X 的子集的搜集是 X 上的拓扑当且仅当它生成自身。
• B 是拓扑空间 X 的基，当且仅当 B 的包含 x 的元素的子搜集形成在 x 上的局部基，对于 X 的任何点 x。
• 给定拓扑的一个基，要证明网或序列的收敛，在包含假定极限的所有基中的集合中最终证明它就是充分的。

依据基定义的对象

• 序拓扑通常定义为类似开区间的集合的搜集所生成的拓扑。
• 度量拓扑通常定义为开球的搜集生成的拓扑。
• 第二可数空间是有可数基的拓扑。
• 离散拓扑有由所有单元素集合组成的基。

闭集基

闭集同样擅长描述空间的拓扑。因为有对于拓扑空间的闭集的对偶的基的概念。给定一个拓扑空间 X， X 的闭集基是闭集的集合族 F 使得任何闭集 A 是 F 的元素的交集。

等价的说，闭集族形成了闭集基，如果对于每个闭集 A 和每个不在 A 中的点 x，存在一个 F 的元素包含 A 但不包含 x。

容易检查 F 是 X 的闭集基，当且仅当 F 的成员的补集的集合族是 X 的开集基。

设 F 是 X 的闭集基。则

1. ∩F = ∅
2. 对于每个 F₁ 和 F₂ 在 F 中，并集 F₁ ∪ F₂ 是 F 的某个子族的交集(就是说，对于任何不在 F₁ 或 F₂ 的 x，存在一个 F₃ 在 F 包含 F₁ ∪ F₂ 并不包含 x)。

满足这些条件的集合 X 的任何子集搜集形成 X 上的拓扑的闭集基。这个拓扑的闭集完全就是 F 的成员的交集。

在某些情况下，更习惯使用闭集基而非开集基。例如，一个空间是完全正规空间，当且仅当它的零集形成了闭集基。给定任何拓扑空间 X，零集形成在 X 上某个拓扑的闭集基。这个拓扑将是 X上比最初的要粗的最细的完全正规拓扑。在类似的脉络下，在 Aⁿ 上的 Zariski拓扑被定义为选取多项式函数的零集作为闭集基。

准基

若拓扑空间${\displaystyle X}$是最小的拓扑使得${\displaystyle X}$的子集的集${\displaystyle B}$都是${\displaystyle X}$的开集，则称${\displaystyle B}$为${\displaystyle X}$的一个准基（subbasis/subbase）。另一等价的定义为，若${\displaystyle B}$及其所有有限交集构成了拓扑空间${\displaystyle X}$之基，则${\displaystyle B}$为准基。

例子：

• 在实数线上，所有长度为1的开区间便是一个准基。

J.W. 亚历山大证明了：若每个准基覆盖都有一个有限个元素的子覆盖，则此空间是紧致的。

注释

参考文献

• James Munkres (1975) Topology: a First Course. Prentice-Hall.
• Willard, Stephen (1970) General Topology. Addison-Wesley. Reprinted 2004, Dover Publications.