拓扑比较

在拓扑学和其相关的数学领域里，拓扑比较是指在同一个给定的集合上的两个拓扑结构之间的关系。在一给定的集合上的所有拓扑会形成一个偏序集合。此一序关系可以用来做不同拓扑之间的比较。

定义

定义 — ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 和 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 都是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑，若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subseteq {\mathfrak {T}}_{2}}$ 称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$更细（fine）或更强（strong），或称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$更粗（coarse）或更弱（weak）。

进一步的，若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\subset {\mathfrak {T}}_{2}}$ ，称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$严格细（strictly fine），或称 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}}$ 比 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$严格粗（strictly coarse）。^[1]

直观上，${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 有更多甚至是“更小”的邻域去逼近拓扑空间中的一点，所以相较之下，其拓扑结构比较“细致”。但在 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{2}}$ 意义下定义的 “极限”要求在更多的邻域都要能找到逼近点，所以其拓扑结构在收敛的意义下比较“强”。至于严格细或粗，就是额外要求 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{1}\neq {\mathfrak {T}}_{2}}$ 。

二元关系 ${\displaystyle \subseteq }$ 在 ${\displaystyle X}$ 所有的拓扑所组成的集合上定义了一个偏序集合。

例子

${\displaystyle X}$ 的拓扑里，最粗的是由空集和全集两个元素构成的：

${\displaystyle {\mathfrak {T}}=\{X,\,\varnothing \}}$

而最细的拓扑是离散拓扑（discrete topology），也就是${\displaystyle X}$ 的幂集：

${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{D}={\mathcal {P}}(X)}$

最粗拓扑

定理 — 设 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一个子集族，则：

${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}}$

也是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑。

证明

根据定理的条件，对所有集合 ${\displaystyle A}$ 有：

${\displaystyle O\in \tau _{\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (O\in {\mathfrak {T}})\right\}}$ (a)

以下将逐条检验拓扑的定义，来验证 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 的确是${\displaystyle X}$ 的拓扑：

(1) ${\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}$

若 ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑，那由拓扑的定义可以得到 ${\displaystyle X,\,\varnothing \in {\mathfrak {T}}}$ ，这样从式(a)右方就可以得到 ${\displaystyle X,\,\varnothing \in \tau _{\mathcal {F}}}$ 。

(2) ${\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 则 ${\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}$

若 ${\displaystyle U,\,V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ，从式(a)左方有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U,\,V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以根据拓扑的定义有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (U\cap V\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

这样从式(a)右方就可以得到 ${\displaystyle U\cap V\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 。

(3) ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ 则 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}$

若 ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$ ，那对任意 ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ ，从式(a)左方有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (g\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow ({\mathcal {G}}\subseteq {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以根据拓扑的定义有：

${\displaystyle (\forall {\mathfrak {T}})\left\{[\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}})\,]\Rightarrow (\bigcup {\mathcal {G}}\in {\mathfrak {T}})\right\}}$

所以从式(a)右方可以得到 ${\displaystyle \bigcup {\mathcal {G}}\in \tau _{\mathcal {F}}}$ 。

综上所述，来验证 ${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的拓扑。${\displaystyle \Box }$

根据以上的定理，可以做以下的定义：

定义 — ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一个子集族，则：

${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}=\bigcap {\bigg \{}{\mathfrak {T}}\,{\bigg |}\,({\mathfrak {T}}{\text{ is a topology of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq {\mathfrak {T}}){\bigg \}}}$

称为包含 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的最粗拓扑（或最弱拓扑）。

另见

• 初拓扑－可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中，最粗糙的拓扑。
• 终拓扑－可使集合上的一组映射皆为连续的拓扑之中，最精细的拓扑。