大三角化八面体

在几何学中，大三角化八面体是一种星形多面体，由24个全等且互相相交的等腰三角形组成，其索引为DU₁₉。温尼尔在他的书中列出将大三角化八面体编为W₉₂^[1][2]。

大三角化八面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	星形截角立方体
识别
名称	大三角化八面体
参考索引	DU19
性质
面	24
边	36
顶点	14
欧拉特征数	F=24, E=36, V=14 （χ=2）
组成与布局
面的种类	24个等腰三角形
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
等面、非凸
图像
星形截角立方体 （对偶多面体）

大三角化八面体的对偶多面体是星形截角立方体^[3]。

性质

大三角化八面体由24个全等且互相相交的等腰锐角三角形组成，其共有24个面、36条边和14个顶点，是一种二十四面体。

构造

八面体加入角锥的几种变化

大三角化八面体的构成是在正八面体的每个面中加入穿过对面的面的倒角锥而成的^[4]，这种在面上加入倒角锥的做法使其与三角化八面体有一样的拓朴结构，几何上的差异在于，大三角化八面体和三角化八面体一个是向外加入角锥^[5]、一个是向内加入角锥。

面的组成

大三角化八面体由24个全等的等腰锐角三角形组成，其36条边中，有12条来自等腰三角形的底边、24条来自等腰锐角三角形的腰^[6]。

此等腰三角形在立体中共露出了5个部分，有1个凹八边形和4个三角形，如图，以蓝色表示。若这等腰三角形长边为2个单位长，则底边为${\displaystyle 2-{\sqrt {2}}}$^[6]。

二面角

大三角化八面体的二面角为^[7]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {8{\sqrt {2}}-3}{17}})\approx 1.0598\approx 60.722^{\circ }}$

顶点坐标

若其对偶多面体星形截角立方体的边长为1单位，则大三角化八面体的顶点坐标为^[8]：

${\displaystyle (0,0,\pm ({\sqrt {2}}-1))}$、

${\displaystyle (\pm ({\sqrt {2}}-1),0,0)}$、

${\displaystyle (0,\pm ({\sqrt {2}}-1),0)}$、

${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,\pm 1)}$。

相关多面体

对偶复合体

星形截角立方体与其对偶的复合体为复合星形截角立方体大三角化八面体。其共有38个面、72条边和38个顶点，其欧拉示性数为4，亏格为-1，有6个非凸面^[9]。

参见

• 三角化八面体