婆罗摩笈多公式

欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算圆内接四边形的面积的公式，以印度数学家婆罗摩笈多之名命名。一般四边形的面积公式请见布雷特施奈德公式。

基本形式

婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$，则其面积为：

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

其中${\displaystyle s}$为半周长：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

证明

圆内接四边形的面积 = ${\displaystyle \triangle ADB}$的面积 + ${\displaystyle \triangle BDC}$的面积

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}$

但由于${\displaystyle ABCD}$是圆内接四边形，因此${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB}$。故${\displaystyle \sin A=\sin C}$。所以：

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}$

${\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}$

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}$

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,}$

对${\displaystyle \triangle ADB}$和${\displaystyle \triangle BDC}$利用余弦定理，我们有：

${\displaystyle DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}$

代入${\displaystyle \cos C=-\cos A}$（这是由于${\displaystyle A}$和${\displaystyle C}$是互补角），并整理，得：

${\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}$

把这个等式代入面积的公式中，得：

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$

${\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}$

它是${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$的形式，因此可以写成${\displaystyle (a+b)(a-b)}$的形式：

${\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}$

${\displaystyle =[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,}$

${\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,}$

引入${\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}}$，

${\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,}$

两边开平方，得：

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.}$

证毕。

更特殊情况

若圆${\displaystyle O}$的圆内接四边形的四边长为${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$，且外切于圆${\displaystyle C}$，则其面积为：

${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$

证明

由于四边形内接于圆${\displaystyle O}$，所以：

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$

其中p为半周长：

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$

又因为四边形外切圆${\displaystyle C}$，所以：

${\displaystyle a+c=b+d}$

则：

${\displaystyle p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c}$

同理:

${\displaystyle p-b=d}$， ${\displaystyle p-c=a}$， ${\displaystyle p-d=b}$

综上：

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$

证毕。

一般情况

布雷特施奈德公式

对一般四边形的面积有布雷特施奈德公式，其叙述如下：

${\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$

其中 ${\displaystyle \theta }$ 是四边形一对对角和的一半。

注意到不论取到哪一对对角 ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$ 的值都一样，因为四边形的内角和是 ${\displaystyle 2\pi }$，故如果选取到的是另一对角，其对角和的一半是 ${\displaystyle \pi -\theta }$。而 ${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \,\theta }$，所以有 ${\displaystyle \cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}\theta }$。

假设此时四边形恰好四顶点共圆，由于圆内接四边形的对角和为 ${\displaystyle \pi }$，因此 ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2}}$，而且由 ${\displaystyle \cos \,{\pi \over 2}=0}$，可推得此时 ${\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =0}$，布雷特施奈德公式恰好退化回婆罗摩笈多公式。

柯立芝公式

另一个由柯立芝所证明的公式如下^[1]：

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}$

其中${\displaystyle p}$及${\displaystyle q}$为四边形对角线之长。在圆内接四边形中，根据托勒密定理我们有${\displaystyle pq=ac+bd}$，此公式退化回为婆罗摩笈多公式。