守恒量

在经典力学里，对于一个动力系统，随着时间的演进，所有保持不变的物理量都称为守恒量（conserved quantity），又称为运动常数。^[1]由于很多物理定律会表达某种守恒行为，对应的守恒量时常会出现于真实系统。例如，假设在某系统内涉及的作用力是保守力，则此系统的能量是守恒量。假设涉及的作用力是有心力，则此系统的角动量是守恒量。

动量

根据动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力，其总矢量和为零，则这粒子的动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀速运动或著静止不变。^[2]以方程表达，假设粒子感受到的合外力为零：

${\displaystyle \mathbf {F} =0}$ 。

根据牛顿第二定律，合外力与动量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 的关系式为

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

所以，动量是一个常数，是一个守恒量。

角动量

根据角动量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力矩，其其总矢量和为零，则这粒子的角动量保持不变，是一个守恒量。在这状况下，粒子会呈匀角运动或直线运动。^[2]以方程表达，假设粒子感受到的合外力矩 ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ 为零：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=0}$ 。

合外力矩与角动量 ${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$ 的关系式为

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}}$ 。

所以，角动量是一个常数，是一个守恒量。

能量

在经典力学里，粒子的能量定义为动能与势能的代数和。根据能量守恒定律，假若一个粒子所感受到的外力都是保守力，则这粒子的能量保持不变，是一个守恒量。^[2]以方程表达，能量 ${\displaystyle E}$ 为动能 ${\displaystyle T}$ 与势能 ${\displaystyle V}$ 的代数和

${\displaystyle E=T+V}$ 。

粒子的动能与运动速度 ${\displaystyle \mathbf {v} }$ 的关系为

${\displaystyle T=mv^{2}/2}$ ；

其中，${\displaystyle m}$ 是粒子的质量。

而对于保守系统，势能与净保守力 ${\displaystyle \mathbf {F} }$ 的关系为

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V}$ ；

能量对于时间的导数为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla V=\mathbf {v} \cdot (m\mathbf {a} -\mathbf {F} )=0}$ 。

所以，能量是一个常数，是一个守恒量。

能量函数

思考一个物理系统，其拉格朗日量是动能 ${\displaystyle T}$ 与势能 ${\displaystyle V}$ 的差值：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V}$ 。

通常，动能的参数为广义速度 ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N}}$ （符号上方的点号表示对于时间 ${\displaystyle t}$ 的全导数），而势能的参数为广义坐标 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};t}$ ，所以，拉格朗日量的参数为 ${\displaystyle q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N};t}$ 。

这物理系统的运动轨道，以拉格朗日方程表示为

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}=0}$；

其中，${\displaystyle t}$ 是时间。

拉格朗日量对于时间的全导数为

${\displaystyle {\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}=\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$ 。

将拉格朗日方程代入，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d{\mathcal {L}}}{dt}}&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right){\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\ddot {q}}_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\&=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}$。

定义“能量函数” ${\displaystyle {\mathit {h}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ;{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ;t)}$ 为

${\displaystyle {\mathit {h}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \sum _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {L}}}$ ，

则能量函数与拉格朗日量的关系为

${\displaystyle {\frac {d{\mathit {h}}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}}$ 。

假若拉格朗日量显性地与时间无关，${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}=0}$ ，${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(q_{1},q_{2},q_{3},\dots ,q_{N};{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},{\dot {q}}_{3},\dots ,{\dot {q}}_{N})}$ ，则能量函数是一个常数，是一个守恒量。设定 ${\displaystyle {\mathit {h}}=E}$ ，这常数 ${\displaystyle E}$ 可以称为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。

参阅

• 李亚普诺夫函数
• 哈密顿系统
• 守恒定律