思考一个物理系统,其拉格朗日量是动能
与势能
的差值:
。
通常,动能的参数为广义速度
(符号上方的点号表示对于时间
的全导数),而势能的参数为广义坐标
,所以,拉格朗日量的参数为
。
这物理系统的运动轨道,以拉格朗日方程表示为
;
其中,
是时间。
拉格朗日量对于时间的全导数为
。
将拉格朗日方程代入,可以得到
。
定义“能量函数”
为
,
则能量函数与拉格朗日量的关系为
。
假若拉格朗日量显性地与时间无关,
,
,则能量函数是一个常数,是一个守恒量。设定
,这常数
可以称为这物理系统的能量。因此,这物理系统的能量守恒。