密克定理

密克定理（英语：Miquel's theorem）是几何学中关于相交圆的定理。1838年，密克叙述并证明了数条相关定理。许多有用的定理可由其推出。

定理陈述

三圆定理：设三个圆${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$交于一点${\displaystyle O}$，而${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$分别是${\displaystyle C_{1}}$ 和${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{2}}$和${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{1}}$的另一交点。设${\displaystyle A}$为${\displaystyle C_{1}}$的点，直线${\displaystyle MA}$交${\displaystyle C_{2}}$于${\displaystyle B}$，直线${\displaystyle PA}$交${\displaystyle C_{3}}$于${\displaystyle C}$。那么${\displaystyle B}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle C}$这三点共线。

逆定理：如果${\displaystyle \triangle ABC}$是三角形，${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$三点分别在边${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$上，那么三角形${\displaystyle \triangle AMP}$, ${\displaystyle \triangle BMN}$, ${\displaystyle \triangle CNP}$的外接圆交于一点${\displaystyle O}$。

完全四线形定理：如果${\displaystyle ABCDEF}$是完全四线形，那么三角形${\displaystyle \triangle EAD}$, ${\displaystyle \triangle EBC}$, ${\displaystyle \triangle FAB}$, ${\displaystyle \triangle FDC}$的外接圆交于一点 ${\displaystyle O}$，称为密克点。

四圆定理：设${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$,${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$为四个圆，${\displaystyle A_{1}}$和${\displaystyle B_{1}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{2}}$的交点，${\displaystyle A_{2}}$和${\displaystyle B_{2}}$是${\displaystyle C_{2}}$ 和${\displaystyle C_{3}}$的交点，${\displaystyle A_{3}}$和${\displaystyle B_{3}}$是${\displaystyle C_{3}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交点，${\displaystyle A_{4}}$和${\displaystyle B_{4}}$是${\displaystyle C_{1}}$和${\displaystyle C_{4}}$的交点。那么${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle A_{3}}$, ${\displaystyle A_{4}}$四点共圆当且仅当${\displaystyle B_{1}}$, ${\displaystyle B_{2}}$, ${\displaystyle B_{3}}$, ${\displaystyle B_{4}}$四点共圆。

五圆定理：设${\displaystyle ABCDE}$为任意五边形，五点${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$分别是${\displaystyle EA}$和${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AB}$和${\displaystyle CD}$, ${\displaystyle BC}$和${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle CD}$和${\displaystyle EA}$, ${\displaystyle DE}$和${\displaystyle AB}$的交点，那么三角形${\displaystyle \triangle ABF}$, ${\displaystyle \triangle BCG}$, ${\displaystyle \triangle CDH}$, ${\displaystyle \triangle DEI}$, ${\displaystyle \triangle EAJ}$的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆。需要注意这样构造出的圆并不穿过五个外接圆的圆心。

几何中的五圆定理是指，五个顺次相交的圆，其圆心和一个交点位于第六个圆上，将另一个交点两两连接并延长和圆相接，可以构成五角星。^[1]

逆定理：设${\displaystyle C_{1},}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$, ${\displaystyle C_{4}}$, ${\displaystyle C_{5}}$五个圆的圆心都在圆${\displaystyle C}$上，相邻的圆交于${\displaystyle C}$上，那么把它们不在${\displaystyle C}$上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上。

历史

1838年密克在刘维尔的期刊《纯粹与应用数学杂志》发表了该定理的一部分。

密克的第一条定理，是很久前已有的著名经典结果，以圆周角定理证明。

完全四线形四圆的交点现在称为密克点，但这性质施泰纳在1828年已经知道，华莱士也很可能已经知道。

五圆定理是一条更一般的定理的特殊情形。这条定理由克利福德提出及证明。

2000年12月20日，中国国家主席江泽民出席澳门回归祖国一周年庆典活动期间，在参观濠江中学时向该校师生出了一道求证“五点共圆”的问题^[2]，令问题重新引起广泛兴趣，五点共圆问题的证明后来也成为膜蛤文化的一部分。

孔涅在2002年10月的一个研讨会也重提这问题。