对位证明法

对位证明法^[1]（英语：proof by contrapositive，又或者proof by negation），或称否定证明法、逆否命题法^[2]，是逻辑数学的其中一个证明方法。其与反证法相似，但是是不同的概念。根据逻辑，“${\displaystyle A\to B}$”等于“${\displaystyle \neg B\to \neg A}$”，即取其逆否命题。^[3]

需要注意，对位证明法与反证法不同。

定义

给予给予初始实质条件命题“若P，则Q”：${\displaystyle A\to B}$，对位证明法证明其逻辑等价的逆否命题“若非Q，则非P”：${\displaystyle \neg B\to \neg A}$的真值。

逻辑上，对立证明法的可用性可以以比较逆否命题和原命题的真值表证明，即证明${\displaystyle A\to B}$和${\displaystyle \neg B\to \neg A}$的真值完全一样：

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg A}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle A\to B}$	${\displaystyle \neg B\to \neg A}$
T	T	F	F	T	T
T	F	F	T	F	F
F	T	T	F	T	T
F	F	T	T	T	T

例子

• “我的妈妈是女人。”需要证明的逆否命题是“不是女人就不是我的妈妈。”
• “若${\displaystyle x}$是单数，则${\displaystyle x+1}$是双数。”需要证明的逆否命题是“若${\displaystyle x+1}$不是双数，则${\displaystyle x}$不是单数。”

反证法与对立证明的分别

反证法：假设 ${\displaystyle \neg A}$ 正确，${\displaystyle \neg A\to B}$，发现 ${\displaystyle B}$ 不对，于是证明 ${\displaystyle A}$ 正确。

否定证明：证明 ${\displaystyle A\to B}$ 正确，于是转换证明 ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ 正确。

证明例子

证明“假设 ${\displaystyle x^{2}}$ 是双数，则${\displaystyle x}$ 都会是双数。”

证明：

逆否命题：“假设 ${\displaystyle x}$ 不是双数，则 ${\displaystyle x^{2}}$ 也不是双数。”

换句话讲，即系“假设 ${\displaystyle x}$ 是单数，则 ${\displaystyle x^{2}}$ 也是单数。”

因为 ${\displaystyle x}$ 是单数，所以 ${\displaystyle x=2k+1,k\in \mathbb {Z} }$ 的${\displaystyle k}$是整数。

${\displaystyle x^{2}=(2k+1)^{2}=4k^{2}+2k+1=2(2k^{2}+k)+1}$

因为 ${\displaystyle 2k^{2}+k}$ 是整数，所以 ${\displaystyle x^{2}}$ 是单数。

集合论例子

如果 ${\displaystyle A,B,C,D}$ 都是集（set），而他们符合 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$ 和 ${\displaystyle x\in C}$。证明如果 ${\displaystyle x\notin A}$，则 ${\displaystyle x\in D}$。

证明：

如果用直接证明，会很麻烦。但是，如果利用对立证明，即假设 ${\displaystyle x\notin D}$则会简单得多。

因为 ${\displaystyle x\in C}$，而 ${\displaystyle C\backslash D\subset A\cap B}$，所以 ${\displaystyle x\in A\cap B}$。

这样 ${\displaystyle x\in A}$ 一定成立。

更多例子

以下命题都可以用对立证明证真：

• 假设 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$ 都是自然数。如果 ${\displaystyle xy}$ 是单数，则 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 都是单数。
• 假设 ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ 都是实数。如果 ${\displaystyle x+y}$ 是无理数，则 ${\displaystyle x}$ 或者 ${\displaystyle y}$ 是无理数。

参见

• 直接证明
• 穷举法
• 数学归纳法
• 反证法
• 归谬法