无理数

无理数（irrational number）是指有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无法用两整数之比来说明的无理数。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

非有理数之实数不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点后有无限多位，并且不会循环，即无限不循环小数（任何有限或无限循环小数可表示成两整数的比）。常见无理数有大部分的平方根、π和e（后两者同时为超越数）等。无理数另一特征是无限的连分数表达式。

传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，他以几何方法证明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$无法用整数及分数表示；而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数存在，后来希伯斯触犯学派章程，将无理数透露给外人，因而被扔进海中处死，其罪名竟然等同于“渎神”。另见第一次数学危机。

无理数可以通过有理数的分划的概念来定义。

举例

1. ${\displaystyle {\sqrt {3}}=}$1.73205080…
2. ${\displaystyle \log _{10}3=}$＝0.47712125…
3. ${\displaystyle e=}$2.71828182845904523536…
4. ${\textstyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}=}$0.70710678…
5. ${\displaystyle \pi =}$3.141592653589793238462…

性质

• 无理数加或减有理数必得无理数。
• 无理数乘以或除以不等于0的有理数必得无理数。
• 无理数的平方根、立方根等次方根必得无理数。但无理数的无理数次幂不一定是无理数，如${\displaystyle {({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})}^{\sqrt {2}}=2}$是有理数。

不知是否是无理数的数

无理数与无理数的四则运算的结果往往不知道是否无理数。如${\displaystyle \log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}10=1}$，${\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\frac {\sqrt {2}}{2}}=1}$都是无理数与无理数进行四则运算得到有理数的例子。只有一些特定形式的数，如${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$，可以证明是无理数。而${\displaystyle \pi +e}$、${\displaystyle \pi -e}$等数未知是否是无理数，事实上，对于任何非零整数${\displaystyle m\,}$及${\displaystyle n\,}$，不知道${\displaystyle m\pi +ne\,}$是否无理数。

我们亦不知道${\displaystyle 2^{e}\,}$、${\displaystyle \pi ^{e}\,}$、${\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}}$、欧拉－马歇罗尼常数${\displaystyle \gamma \,}$、卡塔兰常数${\displaystyle G}$和费根鲍姆常数是否无理数。

无理数集的特性

无理数集是不可数集（有理数集是可数集而实数集是不可数集）。无理数集是不完备的拓扑空间，它与所有正数数列的集拓扑同构，当中的同构映射是无理数的连分数开展，因而贝尔纲定理可应用于无数间的拓扑空间。

无理化作连分数的表达式

${\displaystyle x^{2}=c\qquad (c>0)}$，

选取正实数${\displaystyle \rho \,}$使

${\displaystyle \rho ^{2}<c\!}$。

经由递归处理

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}}$

无理数之证

证明${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是无理数

假设${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理数，且${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$，${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$是最简分数。

两边平方，得${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}}$。将此式改写为${\displaystyle 2q^{2}=p^{2}}$，可见${\displaystyle p^{2}}$为偶数。

因为平方运算保持奇偶性，所以${\displaystyle p}$只能为偶数。设${\displaystyle p=2p_{1}}$，其中${\displaystyle p_{1}}$为整数。

代入可得${\displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}}$。同理可得${\displaystyle q}$亦为偶数。

这与${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$为最简分数的假设矛盾，所以${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理数的假设不成立。

此结论可进一步推广，当${\displaystyle N}$为正整数但不是完全平方数时，${\displaystyle {\sqrt {N}}}$是无理数。一般地，根据有理数根定理，对于方程${\displaystyle a_{n}x_{n}^{n}+a_{n-1}x_{n-1}^{n-1}+a_{n-2}x_{n-2}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0}$，${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$是整数，${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$，方程的有理数解${\displaystyle x={\frac {p}{q}}}$必须满足${\displaystyle p}$是常数项${\displaystyle a_{0}}$的整数因子以及${\displaystyle q}$是首项${\displaystyle a_{n}}$的整数因子，而其他的解是无理数。

证明${\displaystyle \log _{2}3}$是无理数

假设${\displaystyle \log _{2}3}$是有理数，且${\displaystyle \log _{2}3={\frac {p}{q}}}$，那么有

${\displaystyle 2^{p/q}=3}$

${\displaystyle (2^{p/q})^{q}=3^{q}}$

${\displaystyle 2^{p}=3^{q}.}$

因为${\displaystyle 2^{p}}$是偶数，${\displaystyle 3^{q}}$是奇数，所以得到矛盾，因此${\displaystyle \log _{2}3}$是无理数。

参见

• 分划
• 丢番图逼近
• 3的算术平方根
• 5的算术平方根
• 超越数
• 第一次数学危机
• 正规数

外部链接

• 从毕氏学派到欧氏几何的诞生，蔡聪明 （页面存档备份，存于互联网档案馆），有毕氏弄石法的证明
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是无理数的六个证明，香港大学数学系萧文强 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2）
• 旧题新解—根号2是无理数，张海潮 张镇华^{[永久失效链接]}（数学传播 第30卷 第4期）