巴苏定理

在统计学中，巴苏定理（Basu's Theorem）指出任何有界完全的充分统计量与任何辅助统计量独立。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。^[1]

定理陈述

设${\displaystyle P_{\theta }}$是可测空间${\displaystyle (X,\Sigma )}$上的一族分布。如果${\displaystyle T}$是${\displaystyle \theta }$的充分且有界完全的统计量，${\displaystyle A}$是关于${\displaystyle \theta }$的辅助统计量，那么${\displaystyle T}$独立于${\displaystyle A}$。

证明

对任意博雷尔集${\displaystyle B}$，构造函数${\displaystyle h_{B}(T)\equiv P_{\theta }(A\in B|T)-P_{\theta }(A\in B)}$。注意到记号${\displaystyle h_{B}}$是合理的，因为这一函数不取决于${\displaystyle \theta }$。第一项不取决于${\displaystyle \theta }$是因为${\displaystyle T}$的充分性，第二项不取决于${\displaystyle \theta }$是因为${\displaystyle A}$是关于${\displaystyle \theta }$的辅助统计量。注意到${\displaystyle h_{B}}$有界并且期望为0。因此，${\displaystyle T}$的有界完全性保证了${\displaystyle h_{B}}$几乎处处为0。由于${\displaystyle B}$可以是任意博雷尔集，定理得证。

例子

正态分布（方差已知）的样本期望独立于样本方差

让 X₁, X₂,..., X_n 是独立同分布的正态分布随机变量，其中方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$已知，均值${\displaystyle \mu }$未知。

关于参数${\displaystyle \mu }$，可以证明样本均值

${\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum X_{i}}{n}},}$

是充分完全统计量，并且样本方差

${\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}},}$

是辅助统计量，即其分布并不依赖于${\displaystyle \mu }$。

因此，巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的，这一结论并不只在该情况下成立。实际上，无论方差或均值已知与否，正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步，正态分布是唯一具有这一性质的分布^[2]。