完全性 (统计学)

在统计学中， 完全性，又称完备性是统计量的一个性质。 从本质上讲，它确保不同的参数值对应的分布是不同的。一个具有完全性的统计量称为完全统计量。

定义

考虑一个随机变量 ${\displaystyle X}$ ，其概率分布 ${\displaystyle P_{\theta }}$ 以 ${\displaystyle \theta }$ 为参数。称一个统计量 ${\displaystyle s}$ 是完全的，若对任意可测函数 ${\displaystyle g}$，^[1]

如果对所有 ${\displaystyle \theta }$ 都有 ${\displaystyle E(g(s(X)))=0}$，则 ${\displaystyle P_{\theta }(g(s(X))=0)=1}$ 对所有 ${\displaystyle \theta }$ 都成立。

若对上述函数 ${\displaystyle g}$ 加上有界的条件，则称该统计量为有界完全的。

例子

若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$是来自参数为${\displaystyle p}$的伯努利分布的独立随机样本，其中${\displaystyle p\in (0,1)}$。统计量${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全统计量。注意到${\displaystyle T}$服从参数为${\displaystyle n}$和${\displaystyle p}$的二项分布。若有某个${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle E_{p}(g(T))=0}$对${\displaystyle p\in (0,1)}$都成立，则

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).}$

令${\displaystyle r=p/(1-p)\in \mathbb {R} }$，则多项式${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}}$在${\displaystyle \mathbb {R} }$上恒为0。可知其每一项系数都为0，进而得到${\displaystyle g=0}$。由定义，${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全统计量。

完全性的重要性

巴苏定理

主条目：巴苏定理

有界完全性出现在巴苏定理中，^[2] 它指出任何有界完全且充分的统计量与任何辅助统计量独立。

Bahadur定理

有界完全性也出现在Bahadur定理中。 定理指出，当至少存在一个最小充分统计量时，如果一个统计量是充分的并且有界完全的，则它是一个最小充分统计量。