克卜勒三角

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于${\displaystyle 1:{\sqrt {\phi }}:\phi }$，其中${\displaystyle \phi }$是黄金比，${\displaystyle \phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$.德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。这种三角形将黄金比的性质与勾股定理巧妙地结合在了一起.

开普勒三角形

与代数的关系

给定两个正实数a、b，若他们的算术平均数、几何平均数、调和平均数能够构成一个直角三角形，那么这个直角三角形一定是开普勒三角形。

作开普勒三角形

开普勒三角形可通过尺规作图法作出。方法是先作出黄金矩形。

通过黄金矩形，用尺规作图作开普勒三角

1. 用尺规作图法作一个正方形
2. 作出其中一边的中点
3. 连接这一中点与与之相对的正方形的顶点
4. 以这一中点为圆心，已作出的线段的长为半径作弧。并作出长方形的长边。
5. 补全作出的黄金矩形
6. 以黄金矩形的一个顶点为圆心，一条长边的长为半径作弧交另一长边于一点，连接该点与顶点，即作出了开普勒三角形。

数学巧合

正方形和圆的周长近似相等

若绘制一个三边为${\displaystyle a,a{\sqrt {\varphi }},a\varphi ,}$的开普勒三角形，并且考虑

• 其外接圆
• 边长等于${\displaystyle a{\sqrt {\varphi }}}$（三角形中数值介于中间的边长）的正方形

则正方形的周长（${\displaystyle 4a{\sqrt {\varphi }}}$）和圆的周长（${\displaystyle a\pi \varphi }$）相当接近，误差小于0.1%。

这是因为${\displaystyle \pi \approx 4/{\sqrt {\varphi }}}$的数学巧合，上述的圆和正方形其周长不可能相同，若是相同，就可以求解化圆为方的不可能问题了。换句话说${\displaystyle \pi \neq 4/{\sqrt {\varphi }}}$，因为${\displaystyle \pi }$是超越数。

一些资料指出，埃及金字塔设计时有用到开普勒三角^[1][2]。不过古埃及人可能不知道有关${\displaystyle \pi }$和黄金比例${\displaystyle \varphi }$之间的数学巧合^[3]。