直角三角形

有一个角为直角的三角形称为直角三角形（英语：right triangle）。在直角三角形中，直角相邻的两条边称为直角边。直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”^[1]。

直角三角形（英语：right triangle）
直角三角形，C为直角，对于角A而言，a为对边、b为邻边、c为斜边
对偶	相似的直角三角形
边	3
顶点	3
面积	两条直角边的积除以2
内角（度）	90° 、另外两角和为90°

直角三角形满足勾股定理（勾股定理），即两直角边边长的平方和等于斜边长的平方。直角三角形各边和角之间的关系也是三角学的基础。

直角三角形的外心是斜边中点；其垂心是直角顶点。

若直角三角形的三边均为整数，称为毕氏三角形，其边长称为勾股数。

埃及将边长比例为3:4:5的直角三角形称为埃及三角形^[2]。

主要性质

面积

和其他三角形相同，直角三角形的面积等于任一边（底边）乘以对应高的一半。在直角三角形中．若以一股（直角边）为底边，另一股即为对应的高，因此面积为二股直角边乘积的一半，面积T的公式为

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab}$

其中${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$是直角三角形的二股。

若内切圆和斜边${\displaystyle AB}$相切于${\displaystyle P}$点，令半周长${\displaystyle {\frac {a+b+c}{2}}}$为${\displaystyle s}$，则${\displaystyle PA=s-a}$且${\displaystyle PB=s-b}$，面积可表示为

${\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}$

此公式只适用在直角三角形^[3]。

高

直角三角形的高

若在直角三角形有直角的顶点处作往斜边的高，可以将三角形切割成二个较小的三角形，两者均和原三角形相似，且二个小三角形彼此相似。因此：

• 高为斜线切割出的二线段的几何平均数。
• 各股是直角三角形的高和斜线切割出的二线段中相邻部分的几何平均数。

若以方程式表示

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$（有时称为直角三角形高定理）

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}$

其中${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$, ${\displaystyle e}$, ${\displaystyle f}$均如图所示^[4]:p.156。

三角形的面积等于底边乘高除二，也等于二股乘积除二，两者相等，因此

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}$。

斜边上的高和两股还有以下的关系^[5][6]。

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}}$。

勾股定理

勾股定理的示意图

主条目：勾股定理

勾股定理也称为勾股定理，内容如下：

在任意直角的三角形中，边长等于斜边的正方形，其面积等于边长等于两股的二个正方形的和

可以表示为以下的公式表示

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

其中${\displaystyle c}$为斜边长，而${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为剩下二股的长度。

内切圆及外接圆

直角三角形的内切圆

直角三角形的二股长度为${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$，斜边长度为${\displaystyle c}$，内切圆的半径为

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

外接圆的半径为斜边的一半

${\displaystyle R={\frac {c}{2}}.}$

直角三角形的任一股可以用内切圆半径和另一股长度表示：

${\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}.}$

性质

一三角形${\displaystyle ABC}$，其各边为${\displaystyle a\leq b<c}$、半周长（英语：Semiperimeter）${\displaystyle s}$、面积${\displaystyle T}$、斜边的高${\displaystyle h}$、外接圆半径${\displaystyle R}$、内切圆半径${\displaystyle r}$、旁切圆半径${\displaystyle r_{a}}$, ${\displaystyle r_{b}}$, ${\displaystyle r_{c}}$（分别和${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$边相切）、中线${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$, ${\displaystyle m_{c}}$，此三角形为直角三角形当且仅当以下六类的叙述中有任何一个成立。以下的叙述也是直角三角形的性质。

边长和半周长

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$（勾股定理）
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

角

• 角${\displaystyle A}$和角${\displaystyle B}$互为余角。
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^[8][9]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^[8][9]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[9]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

面积

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle T=PA\cdot PB}$，其中${\displaystyle P}$为内切圆和最长边${\displaystyle AB}$相切的点^[10]

内切圆及旁切圆半径

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c}$^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b}$^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a}$^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s}$^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$^[11]
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}}$^[11]

高线和中线

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^[12]
• 中线中有一条的长度等于外接圆半径。
• 高线中最短的（通过由最大角顶点的高线）将对边分为二个线段，高线恰为二线段的几何平均数，即为直角三角形高定理。

内切参圆和外接圆

• 三角形可以放在一个半圆中，且一边恰和直径完全重合。
• 外接圆圆心恰为最长边的中点。
• 最长边的边长恰为外接圆的直径。（${\displaystyle c=2R}$）。
• 外接圆和九点圆相切^[8]。
• 垂心在外接圆的圆周上^[12]
• 内切圆圆心（内心）和垂心的距离为${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$.^[12]。

各边的比例

${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle h}$为${\displaystyle \angle A}$的对边、邻边和斜边

主条目：三角函数 § 直角三角形中的定义

锐角的三角函数可以用直角三角形各边的比例来定义。针对一特定锐角，可以绘制一直角三角形，各边分别是此锐角的对边、邻边及斜边。所有有相同大小锐角的直角三角形都为相似形，因此依照上面的定义，各边的比例只和此锐角的角度有关。若一角度${\displaystyle \theta }$，其对边、邻边及斜边分别是${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$及${\displaystyle h}$，则其三角函数为：

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {a}{h}},\,\cos \theta ={\frac {b}{h}},\,\tan \theta ={\frac {a}{b}},\,\sec \theta ={\frac {h}{b}},\,\cot \theta ={\frac {b}{a}},\,\csc \theta ={\frac {h}{a}}.}$

特殊的直角三角形

特定角度的三角函数可以计算其精确值，因此对应直角三角形的各边比例也可以得知。例如像30°-60°-90°三角形，可以用来计算角度为π/6倍数的三角函数，以及45°-45°-90°三角形，可以用来计算角度为π/4倍数的三角函数，这些都属于特殊直角三角形。

泰勒斯定理

主条目：泰勒斯定理

直角三角形的外接圆以其斜边为直径，斜边中点为其圆心

泰勒斯定理提到若${\displaystyle A}$点是直径的${\displaystyle BC}$的一圆上的一点，且不和${\displaystyle B}$点及${\displaystyle C}$点共点，${\displaystyle ABC}$为直角三角形，${\displaystyle \angle A}$为直角。其逆定理为若一三角形内接于一圆，则其斜边长度即为该圆的直径。因此可以推论由直角顶边到斜边的中线（外接圆半径）为斜边的一半。而直角三角形外接圆的半径为直角顶边到斜边的中线长．也是直径的一半。

中线

直角三角形的中线长和内切圆半径满足以下的公式：

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

因为直角三角形斜边的中线长是斜边的一半，会将直角三角形分为二个等腰三角形。

不同平均和黄金比例的关系

令${\displaystyle H}$、${\displaystyle G}$和${\displaystyle A}$是二个正整数${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$（${\displaystyle a>b}$）的调和平均、几何平均及算术平均。若一直角三角形的二股为${\displaystyle H}$和${\displaystyle G}$，其斜边为${\displaystyle A}$，则^[13]

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}$

及

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}$

其中${\displaystyle \phi }$为黄金比例${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}$

其他性质

若长度为${\displaystyle p}$及${\displaystyle q}$，通过顶点的线段，将斜边分为三等分，则^{[14]:pp. 216-217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}}$。

除直角三角形以外的三角形都可以找到三个相异的内接正方形，但直角三角形只能找到二个相异的内接正方形^[15]。

令${\displaystyle h}$和${\displaystyle k}$（${\displaystyle h>k}$）为一斜边长为${\displaystyle c}$的直角三角形的二个内接正方形边长，则

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

直角三角形的周长等于内切圆及三个旁切圆的半径和。

参看

• 三角学