拉东-尼科迪姆定理

拉东-尼科迪姆定理是数学中测度论里的一个结果。拉东-尼科迪姆定理说明了在给定了一个测度空间${\displaystyle (X,\Sigma )}$的时候，如果测度空间${\displaystyle (X,\Sigma )}$上的一个σ-有限测度${\displaystyle \nu }$关于另一个σ-有限测度${\displaystyle \mu }$绝对连续，那么存在一个在${\displaystyle X}$上可测的函数${\displaystyle f}$，其取值范围为非负实数（${\displaystyle [0,\infty )}$），并且对所有的可测集合${\displaystyle A}$，都有：

${\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\,d\mu }$

这个定理得名于数学家约翰·拉东以及欧顿·尼科迪姆（英语：Otto M. Nikodym）。拉东在1913年证明了这个定理在背景空间为${\displaystyle R^{N}}$时的情况；尼科迪姆则在1930年证明了定理的一般情形^[1]。1936年，汉斯·弗洛伊登萨（英语：Hans Freudenthal）将这个定理推广，证明了里斯空间理论中的弗洛依登萨谱定理。拉东·尼科迪姆定理是后者的一个特例。

拉东-尼科迪姆导数是 ^[2]

${\displaystyle f={\frac {d\nu }{d\mu }}}$

属性

Bermudez et al. (2025) ^[3] 标准化了以下属性的证明。

• ${\displaystyle \lambda }$几乎处处：$${\displaystyle {\frac {d(\nu +\mu )}{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\lambda }}+{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}$$
• 若 ν ≪ μ ≪ λ, 则 ${\displaystyle \lambda }$几乎处处：$${\displaystyle {\frac {d\nu }{d\lambda }}={\frac {d\nu }{d\mu }}{\frac {d\mu }{d\lambda }}.}$$
• 若 μ ≪ ν 以及 ν ≪ μ, 则 ${\displaystyle \nu }$几乎处处：$${\displaystyle {\frac {d\mu }{d\nu }}=\left({\frac {d\nu }{d\mu }}\right)^{-1}.}$$
• 若 μ ≪ λ 则 $${\displaystyle \int _{X}g\,d\mu =\int _{X}g{\frac {d\mu }{d\lambda }}\,d\lambda .}$$
• $${\displaystyle {d|\nu | \over d\mu }=\left|{d\nu \over d\mu }\right|.}$$