拉克斯-米尔格拉姆定理

拉克斯－米尔格拉姆定理是数学泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米尔格拉姆命名。这定理可用来藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理论基础。

叙述

设

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是实希尔伯特空间，其内积记作${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$，导出范数${\displaystyle \|\cdot \|}$，
• ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$是双线性型，使得

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$上连续：

${\displaystyle \exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$，

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上强制（有称为${\displaystyle {\mathcal {H}}}$－椭圆性)：

${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$，

• ${\displaystyle L}$是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上的连续线性型。

那么存在唯一的${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$，使得对所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$都有${\displaystyle a(u,v)=Lv}$：

${\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv}$。

而且如果${\displaystyle a}$是对称的，那么${\displaystyle u}$是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$中唯一的元素，使得以下泛函取最小值${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$，${\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv}$对所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$，即：

${\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}$。

证明

一般情形

套用里斯表示定理到连续线性型上，可知存在唯一的${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$，使得${\displaystyle Lv=\langle f,v\rangle }$对任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$成立。

对所有${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$，映射${\displaystyle v\mapsto a(u,v)}$是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上连续线性型，因此同样可知存在唯一的${\displaystyle A_{u}\in {\mathcal {H}}}$，使得${\displaystyle a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle }$对任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$成立。易知算子${\displaystyle A:u\mapsto A_{u}}$ 是一个${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上连续线性自同态。由此可把${\displaystyle (1)}$表示成如下等价形式：

${\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f}$

要证明此命题，只要证得${\displaystyle A}$是从${\displaystyle {\mathcal {H}}}$到${\displaystyle {\mathcal {H}}}$的双射。首先证明它是单射，再证它是满射。

从${\displaystyle a}$的强制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到对任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}$

从而知对任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|}$ (*)。

这证明了${\displaystyle A}$是单射。

要证明满射，考虑算子${\displaystyle A}$在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$内的像${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$。

不等式(*)表示，如${\displaystyle Au_{n}}$是柯西序列，那么${\displaystyle u_{n}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$内的柯西序列。由${\displaystyle {\mathcal {H}}}$的完备性，${\displaystyle u_{n}}$收敛至${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$。因${\displaystyle A}$连续，得出${\displaystyle Au_{n}}$收敛至${\displaystyle Au}$。

${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$因此为${\displaystyle {\mathcal {H}}}$中的闭子空间，由投影定理可知${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }}$。

再设元素${\displaystyle w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }}$，从定义有${\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0}$，因此

${\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}$

故得${\displaystyle w=0}$。所以${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}$为${\displaystyle \{0\}}$，证得${\displaystyle A}$是满射。

自同态${\displaystyle A}$是双射，故在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$内存在唯一的${\displaystyle u}$使得${\displaystyle Au=f}$，且可以由${\displaystyle u=A^{-1}f}$得出。

附注

不用求出${\displaystyle u}$，有其范数的上界估计

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}$

其中${\displaystyle \|\cdot \|'}$表示对偶空间${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$的范数。

对称情形

如果双线性型${\displaystyle a}$对称，那么对所有${\displaystyle w\in {\mathcal {H}}}$有：

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$

因${\displaystyle u}$是命题(1)的唯一解，有

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$

从${\displaystyle a}$的强制性有：

${\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}$

取${\displaystyle v=u+w}$，从上式有${\displaystyle J(u)\leq J(v)}$对任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$成立，因而得到${\displaystyle (2)}$的结果。

应用

这定理是有限元法的基础。实际上，若不在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$内求${\displaystyle u}$，而是在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$的有限${\displaystyle n}$维子空间${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$内求${\displaystyle u_{n}}$，那么

• 如果${\displaystyle a}$对称，以${\displaystyle a}$为内积，${\displaystyle u_{n}}$是${\displaystyle u}$的投影。
• 给出${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$的基${\displaystyle (\varphi _{i})}$，上述问题化为求解线性方程组：

${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}$

其中${\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})}$，${\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}}$。

泛函分析中的定理

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